Цілком впорядковані множини [ред.]

Докладніше: Цілком впорядковані множини

Лінійно впорядкована множина називається цілком впорядкованою (англ. well-ordered), якщо кожна його непорожня підмножина має найменший елемент^[4]. Такий порядок на множині називається повним порядком (англ. well-order), в контексті, де його неможливо сплутати з повним порядком в сенсі повних частково впорядкованих множин, (англ. complete order).

Класичний приклад цілком впорядкованої множини - множина натуральних чисел  . Твердження про те, що будь-яка непорожня підмножина   містить найменший елемент, рівносильно принципу математичної індукції. Як приклад лінійно впорядкованої, але не цілком впорядкованої множини можна привести множину невід'ємних чисел, впорядковану природним чином  . Дійсно, його підмножина   не має найменшого елемента.

Цілком впорядковані множини грають виключно важливу роль в загальній теорії множин.

Повна частково впорядкована множина [ред.]

Повна частково впорядкована множина (англ. complete partial ordered, ω-complete partial ordered) - частково впорядкована множина, у якої є дно - єдиний елемент, який передує будь-якому іншому елементу і у кожної спрямованої підмножини, у якої є точна верхня межа^[5]. Повні частково впорядковані множини застосовуються в λ-обчисленнях і інформатиці, зокрема, на них вводиться топологія Скотта, на основі якої будується несуперечлива модель λ-обчислення і денотаційна семантика обчислень. Спеціальним випадком повної частково впорядкованої множини є повні ґратки - якщо будь-яка підмножина, не обов'язково спрямована, має точну верхню грань, то вона виявляється повними ґратками.

Впорядкована множина   тоді і тільки тоді є повною частково впорядкованою, коли будь-яка функція  , монотонна відносно порядку  володіє хоча б одною нерухомою точкою:  .

Будь-яку множину   можна перетворити на повну частково впорядковану виділенням дна   і визначенням порядку   як   і   для всіх елементів   множини  .

25. Баєсівський ризик та баєсівське рішення

Байєсівський ризик

Розглядаючи задачу рішення з простором параметрів Ω, простором рішень D і функцією втрат L.

Для певного розподілу Р параметру W, баєсівський ризик ρ*(P) – це точна нижня грань ризиків ρ (P,d) по всіх ризиках d.

ρ*(P)=inf_{d є D} ( ρ(P,d) ).

Кожне рішення, ризик якого рівний баєсівському ризику називається баєсівським рішенням при розподілі Р. тобто, ρ(P,d*) = ρ*(P) => d* -- баєсівське.

Виявляється, можлива ситуація, коли немає баєсівського рішення – таке можливо тільки тоді, коли нижня грань за формулою баєсівської границі не досягається ні при одному d є D.

Тоді, вибирається баєсівське рішення, яке «достатньо мало» відрізняється від баєсівського.

26. Увігнутість баєсівського рішення

Увігнутість баєсівського ризику можна доводити двома способами -- простим і де Гроот-івським. Отже, спочатку простим:

1) як видно на першому малюнку, баєсівський ризик формується як мінімум зі всіх ризиків, які присутні в ситуації. /* тобто, на графіку вибирається мінімальна точка по у для кожного х.*/ 

Розглянемо простішу ситуацію – по суті, баєсівський ризик – це просто перетин півплощин (мал 2)…

А оскільки півплощина – це опукла множина, а перетин опуклих множин – це опукла множина, то і перетин всіх наших півплощин, утворених ризиками, також буде опуклою множиною.

Невеликий коментар: Чому ризик увігнутий? Тобто, чому в точці 0 та 1 (вісь p - ймовірність) ризик нульовий. Це значить, що коли ймовірність випадкової величини θ дорівнює нулю або одиниці (точно відбудеться, або точно не відбудеться P(θ)=0 або P(θ)=1), тоді ми не завдаємо собі жодного ризику,оскільки точно знаємо розподіл.

2) є і інший спосіб, чисто по формулі. (мал 3).

Як мало б бути видно з малюнка (але ми ци будемо зараз доводити):

ρ(α * p₁+(1-α) * p₂,d)≥ α * ρ^*(p₁) + (1-α) * ρ^*(p₂,d).

доводимо ми це за властивістю інтеграла:

ρ((α*p₁+(1-α)p₂),d)=α*ρ(p₁,d)+(1-α)*ρ(p₂,d).

ρ^*(α* p₁+(1-α)*p₂)=inf_d[ρ( (α*p₁ + (1-α)*p₂) ,d)]=inf_d [α*ρ(p₁,d) + (1-α)*ρ(p₂,d)] ≥ α*inf_d [ρ(p₁,d)] + (1-α)*inf_d [ρ(p₂,d) ]= /*крок шо був перед цим було зроблено «за властивістю інфінума» -- сума інфінумів менша або така ж, як інфінум суми.*/ =α* ρ^*(p₁) + (1-α)*ρ^*(p₂). Доведено.