8 Заказ № 294

ЦЗ

Если переменные поменять местами, то при линейной форме связи между ними значение коэффициента корре­ляции не изменяется, при криволинейной же форме связи индекс корреляции изменяется. Так, в примере зависи­мости уровня ренты от состояния крестьянского хозяй­ства, когда мощность хозяйства выступала в роли не­зависимой переменной, индекс корреляции составил 0.86. Если же анализировать влияние размеров ренты на крестьянское хозяйство, т. е. в качестве фактора взять ренту, а крестьянское хозяйство рассматривать как результирующую переменную, индекс корреляции ока­зывается равным 0.93. Полученный результат означает, что рента и крестьянское хозяйство находились во вза­имодействии, но воздействие их друг на друга не было абсолютно равнозначным: уровень хозяйства оказывал несколько меньшее влияние на размер ренты, чем рента на уровень крестьянского хозяйства. Для историка по­добный вывод имеет большое значение, так как свидетель­ствует о том, что крестьянское хозяйство играло отнюдь не страдательную, а активную роль при установлении размеров ренты, вынуждая помещика считаться с его возможностями.

Итак, при линейных формах зависимости между переменными силу влияния фактора на результирующую переменную может правильно оценить коэффициент де­терминации, а при криволинейных формах зависимо­сти — индекс детерминации.

Следует принять во внимание очень существенное обстоятельство. Индекс корреляции в равной мере при­годен для измерения тесноты связи как в линейных, так и в нелинейных зависимостях. Поэтому, когда трудно определить вид зависимости между переменными, можно сразу вычислить индекс корреляции, тем более что при­менение коэффициента корреляции требует выполнения двух условий: наличия линейной связи между перемен­ными и случайности отбора выборочной совокупности. Для использования индекса корреляции не требуется выполнения каких-либо условий, кроме наличия доста точно большого количества наблюдений. Вследствие этого индекс корреляции является универсальным показателем связи, который, помимо воли исследователя, автомати­чески приспосабливается к любой форме связи между переменными. Однако при использовании индекса кор-

114

реляции существует опасность преувеличить степень за­висимости переменных, особенно в двух случаях: когда мало наблюдений и когда индекс корреляции подсчиты-вается без вычисления уравнения регрессии, т. е. на основе сгруппированных данных. Увеличение выборки подобную опасность уменьшает.

В исследовательской практике нередко измерение связи между переменными начинают с вычисления парных коэффициентов корреляции, чтобы ориентировочно оценить степень связи, затем подсчитывают индекс кор­реляции. На основе сравнения обоих показателей, вы­яснения причин их расхождения и анализа формы связи между переменными выбирают коэффициент или индекс корреляции в качестве основного показателя тесноты связи и степени влияния фактора на зависимую перемен­ную.

1П шеЛаз гее 3

До сих пор рассматривалась корреляция двух перемен­ных. Однако историку, изучающему, как правило, слож­ные социальные процессы, приходится значительно чаще сталкиваться с такими проблемами, для решения которых нужно учитывать целый ряд одновременно действую­щих факторов.

Для оценки совместного влияния всего комплекса факторов на результативный признак в математике раз­работан метод множественной корреляции, применимый и при линейных, и при криволинейных связях между фак­торами и зависимой переменной. Вследствие трудностей при получении криволинейных уравнений и истолкова­ния результатов анализа криволинейных зависимостей нередко приходится ценой некоторой неточности в оценке тесноты связи допускать наличие линейных связей между переменпыми там, где налицо криволинейные. Другими словами, надо упрощать задачу. Нередко это дает хоро­шие результаты, но иногда упрощение настолько сильно снижает ценность анализа, что приходится решать проб­лему, исходя из множественной криволинейной зависи­мости между переменными.

В середину вещей.

8* 115

Рассмотрим пример прямолинейной множественной корреляции, наиболее часто встречающейся в практике историка. Однако все сказанное будет в равной мере относиться и к криволинейной множественной корреля­ции.

Две задачи встают перед историком, исследующим проблему, в которой участвует несколько факторов и одна результирующая, или зависимая переменная: 1) как оценить «чистое» влияние каждого фактора на зависимую переменную и 2) как оценить совместное, или суммарное, воздействие факторов, не преувеличив его по причине неоднократного учета влияния одного и того же фактора на результирующую переменную.

Первая задача решается с помощью коэффициента чистой, или частной, корреляции, который позволяет оценить влияние каждого отдельного фактора на зависи­мую переменную при условии устранения прямого и кос­венного влияния всех остальных.

Вторая задача решается с помощью коэффициента множественной корреляции. При криволинейных зави­симостях показатели называются соответственно индек­сом частной, или чистой, и множественной корреляции. Оба показателя корреляции принимают значение от и до +1.

С аналогичными задачами нам уже приходилось иметь дело, когда рассматривался вопрос о множествен­ной и чистой регрессии. Суть проблемы при корреляцион­ном и регрессионном анализе сложных процессов одна и та же: изучить взаимодействие переменных в «чистом» и в «суммарном» виде. Только множественная регрессия изучает отношения переменных с точки зрения скорости изменения результирующей переменной в зависимости от фактора, а множественная корреляция — с точки зрения степени влияния фактора на зависимую перемеп-ную.

Во множественной корреляции различаются полные (их еще называют общие, нулевого порядка) парные коэффициенты корреляции, которые измеряют тесноту связи между результирующей переменной и фактором, учитывая сопутствующие, или косвенные, влияния на зависимую переменную через данный фактор других факторов, и чистые коэффициенты корреляции, когда

116

Сопутствующее влияние прочих факторов на результи­рующую переменную устраняется.

Если попытаться оценить силу влияния на револю­ционную активность молодежи в дореволюционной Рос­сии таких ее характеристик, как образование^ возраст и социальное положение, то прямое влияние образования на революционную активность и косвенное влияние других факторов на эту активность через образование измерит полный парный коэффициент корреляции между степенью революционной активности и уровнем образо­вания. Чистый же коэффициент корреляции между ними оценит силу влияния образования на революционную активность в чистом виде, т. е. при устранении косвен­ного влияния прочих факторов через образование.

Далее различаются чистые коэффициенты корреляции первого, второго, третьего и т. д. порядка — в зависимости от того, влияние какого количества факторов устраняется. Так, коэффициент корреляции между социальным проис­хождением и революционной активностью будет чистым коэффициентом корреляции первого порядка, если устра­нено сопутствующее влияние только образования или только возраста; второго порядка, — если устранено сопутствующее влияние и образования, и возраста и т. д.

Чистые, как и полные коэффициенты корреляции, могут принимать значение от —1 до +1. Чистые и мно­жественные коэффициенты корреляции вычисляют двумя способами: на основе коэффициентов чистой регрессии и на основании полных коэффициентов корреляции. Например, для двух факторов и одной зависимой пере­менной воздействие первого фактора при устранении влияния второго оценивается по формуле:

_г . ^Г1.2 ^Г1.8^Г2.8

^г12.з— (1-гЬ)(1-г|.₃)

где г — полные коэффициенты корреляции, а 1, 2, 3 — подписные знаки, указывающие, влияние какого фактора отражает коэффициент корреляции: 1 обычно обозначает зависимую переменную, 2, 3 и т. д. — фак­торы; г₁₂ з — чистый коэффициент корреляции между первым фактором и зависимой переменной при устранении влияния второго фактора; г_{12 34} — чистый коэффициент корреляции между первым фактором и зависимой пере­менной при устранении влияния второго и третьего

117

факторов, и т. д. При увеличении числа факторов коли­чество счетных операций резко возрастает.

Приведем один характерный пример чистой корреля­ции. Исследователи истории крестьянства XVI в. давно пытаются решить вопрос о том, были ли у холопов в боль­шом количестве собственные наделы, или они не имели пашни, получая на прожиток месячину. От правильного ответа на этот вопрос в значительной мере зависит реше­ние проблемы о путях закрепощения русского крестьян­ства в XVI в. Если холопы в значительной своей массе обрабатывали свою пашню, то, во-первых, происходило слияние части холопов с крестьянством в ущерб послед­нему, так как по фактическому положению свободные крестьяне сближались с холопами, и, во-вторых, крепост­ные крестьяне по своему происхождению, во всяком случае на первых стадиях развития крепостного права, являлись бывшими холопами, посаженными на землю. Если же холопы работали почти исключительно на бар­ской пашне, то подобное слияние холопов и крестьян не происходило, а крепостные могли рекрутироваться в основном из среды свободного крестьянства. Имею­щиеся в распоряжении историков данные позволяют измерить степень зависимости, или тесноту связи, между числом холопов, крестьян и количеством всей пашни в новгородских землях в 1539—1540 гг.⁴

Полные парные коэффициенты корреляции составили:

Холопы — пашня, г₁₃ — 0.81 Крестьяне — пашня, г₂₃ — 0.82 Холопы — крестьяне, г₁₂ — 0.90

Как видим, между числом холопов и размерами всей пашни существовала тесная зависимость (г₁₃=0.81). Это как будто свидетельствует о том, что холопы большей частью имели собственные наделы и что примерно на 66% (0.81x0.81) величина запашки зависела от числа холопов. Одпако столь же тесная зависимость наблюда­ется и между числом свободных крестьян и размерами пашни (г₂₃=0.82). Возникает вопрос: не является ли тесная зависимость между числом холопов и размерами

⁴ Колычева Е. И. Опыт применения корреляционного анализа для решения некоторых спорных вопросов истории холопства. — История СССР, 1969, № 4, с. 142.

118

пашни отражением влияния третьего фактора — числа свободных крестьян? Другими словами: не могло ли число свободных крестьян одновременно оказывать существен­ное влияние и на число холопов, и на размеры пашни, следствием чего и явилась тесная связь между послед­ними? Чтобы ответить на этот вопрос, при измерении степени зависимости между холопами и пашней необхо­димо устранить влияние третьего сопутствующего фак­тора — числа свободных крестьян. Чистый коэффициент корреляции между числом холопов и размерами пашни составил 0.28. Отсюда следует, что между числом холопов и размерами пашни существует очень слабая зависи­мость — холопы обусловливали величину запашки менее чем на 8% (0.28 х0.28) —- и что холопы обрабатывали большей частью барскую запашку, не сливались со сво­бодными крестьянами и не были предками крепостного крестьянства.

Чистая корреляция применима только к количествен­ным признакам. Для качественных признаков чистые коэффициенты корреляции обычно не вычисляются, кроме одного случая, о котором будет идти речь в следующем разделе главы.

Рассмотрим конкретный исторический пример приме­нения множественной корреляции. Он относится к ана­лизу факторов ценообразования в России XIX—на­чала XX в.

При исследованиии динамики хлебных цен в России за 1801—1914 гг. чрезвычайно важно выявить факторы, которые оказывали влияние на движение цен, и оценить их воздействие порознь и вместе. Решение данной задачи распадается на три стадии. На первой стадии путем конкретно-исторического анализа производится отбор факторов, которые оказывали или могли оказывать влия ние на движение хлебных цен в 1801—1914 гг. На второй стадии с помощью парных коэффициентов полной и чис­той корреляции оценивается мера воздействия на дина­мику хлебных цен выявленных факторов. На третьей стадии измеряется влияние на хлебные цены всех факто­ров вместе и оценивается мера «чистого» воздействия каждого фактора.

Историко-экономический анализ позволил сначала вы­делить 12 факторов, которые теоретически могли оказы­вать влияние на динамику русских хлебных цен в 1801 —

119