Кпд тепловой машины

КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЦИКЛА ТЕПЛОВОГО ДВИГАТЕЛЯ(*)

В. Томсон: Невозможно осуществление цикла теплового двигателя без переноса некоторого количества теплоты от источника тепла с более высокой температурой к источнику с более низкой температурой.

Для превращения тепла в работу необходим, кроме источника тепла, охладитель, т.е. температурный перепад.

В периодическом процессе (цикле) только часть теплоты, за счет которой осуществляется цикл, может быть превращена в работу. В любом цикле нельзя перевести все подведенное тепло в работу.

(L<Q1)

L=Q1-Q2 и Q2> 0

Термический коэффициент полезного действия:

оценивает степень совершенства цикла

равен отношению полезно истраченного тепла к ко всему подведенному теплу

Цикл Карно

Цикл Карно́ — идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадает соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

Цикл Карно назван в честь французского физика Сади Карно, который впервые его исследовал в 1824 году.

Одним из важных свойств цикла Карно является его обратимость: он может быть проведён как в прямом, так и в обратном направлении, при этом энтропия адиабатически изолированной (без теплообмена с окружающей средой) системы не меняется.

Описание цикла Карно

Пусть тепловая машина состоит из нагревателя с температурой TH, холодильника с температурой TX и рабочего тела.

Цикл Карно состоит из четырёх стадий:

Изотермическое расширение (на рисунке — процесс A→Б). В начале процесса рабочее тело имеет температуру TH, то есть температуру нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при постоянной температуре) передает ему количество теплоты QH. При этом объём рабочего тела увеличивается.

Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение (на рисунке — процесс Б→В). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура уменьшается до температуры холодильника.

Изотермическое сжатие (на рисунке — процесс В→Г). Рабочее тело, имеющее к тому времени температуру TX, приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься, отдавая холодильнику количество теплоты QX.

Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие (на рисунке — процесс Г→А). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя.

При изотермических процессах температура остается постоянной, при адиабатических отсутствует теплообмен, а значит, сохраняется энтропия (поскольку

при δQ = 0).

Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах T и S (температура и энтропия).

КПД тепловой машины Карно

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдало холодильнику

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

Из последнего выражения видно, что КПД тепловой машины Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Кроме того, из него следует, что КПД может составлять 100 % только в том случае, если температура холодильника равна абсолютному нулю. Это невозможно, но не из-за недостижимости абсолютного нуля (этот вопрос решается только третьим началом термодинамики, учитывать которое здесь нет необходимости), а из-за того, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм.

Можно показать, что КПД любой тепловой машины, работающей по циклу, отличному от цикла Карно, будет меньше КПД тепловой машины Карно, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника.

№49 изотермы ван-дер-ваальса

Проанализируем изотермы уравнения Ван–дер–Ваальса – зависимости Р от V для реального газа при постоянной температуре. Умножив уравнение Ван-дер-Ваальса на V 2 и раскрыв скобки, получаем

PV 3 – (RT + bP) vV 2 + av2V - abv3 = 0.

Поскольку данное уравнение имеет третью степень относительно V, а коэффициенты при V действительны, то оно имеет либо один, либо три вещественных корня, т.е. изобара Р = const пересекает кривую Р = Р(V) в одной или трех точках, как это изображено на рисунке 7.4. Причем с повышением температуры мы перейдем от немонотонной зависимости Р = Р(V) к монотонной однозначной функции. Изотерма при Ткр, которая разделяет немонотонные T < Tкр и монотонные T > Ткр изотермы, соответствует изотерме при критической температуре. При температуре выше критической зависимость Р = Р(V) является однозначной монотонной функцией объема. Это означает, что при T > Ткр вещество находится только в одном, газообразном состоянии, как это имело место у идеального газа. При температуре газа ниже критической такая однозначность исчезает, а это означает возможность перехода вещества из газообразного в жидкое и наоборот. На участке АСВ изотермы Т1 давление растет с увеличением объема (dP/dV) > 0. Данное состояние неустойчиво, поскольку здесь должны усиливаться малейшие флуктуации плотности. Поэтому область ВСА не может устойчиво существовать. В областях DLB и AGE давление падает с увеличением объема (dP/dV)Т < 0 – это необходимое, но не достаточное условие устойчивого равновесия. Эксперимент показывает, что система переходит из области устойчивых состояний GE (газ) в область устойчивых состояний LD (жидкость) через двухфазное состояние (газ – жидкость) GL вдоль горизонтальной изотермы GCL.

При квазистатическом сжатии, начиная с точки G, система распадается на 2 фазы – жидкость и газ, причем плотности жидкости и газа остаются при сжатии неизменными и равными их значениям в точках L и G соответственно. При сжатии количество вещества в газообразной фазе непрерывно уменьшается, а в жидкой фазе – увеличивается, пока не будет достигнута точка L, в которой все вещество перейдет в жидкое состояние.

Наличие критической точки на изотерме Ван–дер–Ваальса означает, что для каждой жидкости существует такая температура, выше которой вещество может существовать только в газообразном состоянии. К этому заключению пришел и Д.И. Менделеев в 1861 г. Он заметил, что при определенной температуре прекращалось поднятие жидкости в капиллярах, т.е. поверхностное натяжение обращалось в нуль. При той же температуре обращалась в нуль скрытая теплота парообразования. Такую температуру Менделеев назвал температурой абсолютного кипения. Выше этой температуры, согласно Менделееву, газ не может быть сконденсирован в жидкость никаким увеличением давления.

Критическую точку K мы определили как точку перегиба критической изотермы, в которой касательная к изотерме горизонтальна (рис. 7.5). Ее можно определить также как точку, в которую в пределе переходят горизонтальные участки изотерм при повышении температуры до критической. На этом основан способ определения критических параметров Pk, Vk, Тk, принадлежащий Эндрюсу. Строится система изотерм при различных температурах. Предельная изотерма, у которой горизонтальный участок LG (рис. 7.4) переходит в точку, будет критической изотермой, а указанная точка – критической точкой

Недостаток способа Эндрюса заключается в его громоздкости.

№50 Уравнение ван-дер-ваальса

ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА УРАВНЕНИЕ

одно из первых уравнений состояния реального газа. Предложено в 1873 голл. физиком Я. Д. Ван-дер-Ваальсом (J. D. van der Waals). Для моля газа, имеющего объём V при темп-ре Т и давлении р, имеет вид:

(p+a/V2)(V-b)=RT,

где R — универсальная газовая постоянная, а a и b — эксперим. константы, учитывающие отклонение св-в реального газа от св-в идеального. Так, член a/V2 имеет размерность давления и учитывает притяжение молекул в результате межмолекулярного взаимодействия, а константа b — поправка на собств. объём молекул, учитывающая отталкивание молекул на близких расстояниях. При больших V (а также для разреж. газов) константами а и & можно пренебречь и В. у. переходит в ур-ние состояния идеального газа (см. КЛАПЕЙРОНА УРАВНЕНИЕ).

В. у. явл. приближённым и количественно определяет св-ва реальных газов лишь в области высоких Т и низких р. Однако качественно оно позволяет описывать поведение газа при высоких р, конденсацию газа и критич. состояние.

На рисунке приведены изотермы, рассчитанные по В. у. При низких Т все три корня В. у.— действительные, а выше критич. темп-ры (Тк) остаётся лишь один действит. корень. Это означает, что при Т>ТК в-во может находиться только в одном (газообразном) состоянии, а при Т<ТК — в трёх состояниях (двух стабильных — жидком Vж и газообразном Vг — и одном нестабильном). Точки прямой ас отвечают равновесию жидкости и её насыщ. пара. В условиях равновесия, напр. в состоянии, соответствующем точке b, относит, кол-ва жидкости и пара определяются отношением отрезков вс/ва («правило моментов»). Равновесию фаз при определ. Т соответствует давление насыщ. пара рнп и интервал объёмов отVж до Vr.

Диаграмма состояния в-ва в координатах р — V: T1, Т2, Т3, Тк — изотермы, рассчитанные по ур-нию Ван-дер-Ваальса; К — критич. точка. Линия dKe (спинодаль) очерчивает область неустойчивых состояний.

При более низких р (за областью, где возможно одновременное существование газа и жидкости) изотерма характеризует св-ва газа. Левая, почти вертик. часть изотермы отражает малую сжимаемость жидкости. Участки ad и еc (и аналогичные участки др. изотерм) относятся соотв. к перегретой жидкости и переохлаждённому пару (метастабильные состояния). Участок de физически неосуществим, т. к. здесь происходит увеличение V при увеличении р. Совокупность точек а, а', а" и с, с', с", . . . определяет кривую, наз. бинодалью, к-рая очерчивает область совместного существования газа и жидкости. В критич. точке К параметры Тк, рк и Vк имеют значения, характерные для данного в-ва. Однако если в В. у. ввести относит. величины Т/Тк, р/рк и V/VK, то можно получить т. н. приведённое В. у., к-рое явл. универсальным.

№51/52 Внутренняя энергия реального газаю Эффект Джоуля-Тоипсона

В

отличие от идеального (достаточно разреженного) газа, молекулы кото­рого не взаимодействуют друг с другом в силу их взаимной удалённости, внутренняя энер­гия реального газа включает не только кинетическую энергию молекул, но и их потенциальную энергию, обусловленную межмолекулярными взаимодействиями. Это взаимодействие - короткодействующее (быстро убывающее), носящее на очень малых расстояниях характер сильного отталкивания, а на больших расстояниях - характер притяжения.

При уменьшении объема увеличивается плотность газа, его молекулы вступают в область взаимодействия, и внутренняя энергия приобретает добавочную компоненту, равную работе против сил избыточного давления: А = РdV = ; U =

При расширении реального газа, т. е. при увеличении средних расстояний между молекулами, его потенциальная энергия может, как увеличиваться, так и убывать. Если при этом газ изолирован (адиабатен) и не совершает работы, т. е. Q = 0 и А = 0, то и dU = 0 и в силу сохранения внутренней энергии, изменение её потенциальной компоненты должно сопровождаться компенсирующим изменением кинетической энергии (с обратным знаком). Изменение же кинетической энергии молекул связывается с соответствующим изменением температуры газа:

U (Т, V) = Е_к + Е_п = (С_мV Т –аV_м)Р^ = аV_м²; А_м = Р^dV_м = dЕ_{п м} = аdV_мV_м²

Е_{п м} = -аV_м и U = Е_к + Е_п = С_мVТ- аV_м.

Е

сли газ адиабатно расширяется в пустоту, и его молекулы расходятся на достаточно большие расстояния, где потенциальная энергия их взаимодействия стремится к нулю, т. е. в итоге возрастает (ибо до этого она была от­рицательной), то газ всегда охлаждается. Если же газ адиабатно (медленно) проталкивается через пористую перегородку (для устранения турбулентности) с перепадом давлений, то в зависимости от соотношения Р₁, V₁ и Р₂, V₂ и констант а и b газа, он может и понизить, и повысить, свою температуру. Соот­ветственно имеем положительный и отрицательный эффект Джоуля - Томсона.

Вдвигая медленно поршень 1, убавляем объем V₁ до нуля при Р₁  const. Второй поршень при этом перемещается вправо; объем V₂ возрастает с нуля при Р₂  const.

Дроссель (пористая перегородка) поддерживает постоянным перепад давлений Р₁ – Р₂.

Работа А₁, совершаемая по вытеснению газа в объеме V₁, равна А₁ = Р₁V₁. После дросселирования газ займет (приобретет) объем V₂ и совершит работу А₂ = Р₂V₂. В условиях теплоизоляции изменение (приращение) внутренней энергии газа равно:

 U = U₂ – U₁ = А₁ – А₂ = Р₁V₁ – Р₂V₂  Р₁V₁ + U₁ = Р₂V₂ + U₂ = const.

Для идеального газа Т = 0, эффект Джоуля – Томсона отсутствует.

№20 Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например ,единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам :

1. Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

2. Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s =A cos (0 t +) , (1)

где

А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,

0 - круговая (циклическая) частота,

 - начальная фаза колебания в момент времени t=0,

(0 t +) - фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2, т.е.

0(t+T)+ =(0t+ )+2 ,

откуда

T=2/0 (2)

Величина, обратная периоду колебаний,

=1/T (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

0=2 .

Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

(4)

(5) т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и .Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на /2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на . Следовательно, в моменты времени, когда s=0, приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение (см. рисунок 1).

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

где s =A cos (0 t +). Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 2).

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (0 t +). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

(7)

где - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме:

(8)

вещественная часть выражения (8)

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде

.

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.