Оскільки , , , то у загальному вигляді

.

Перевіряємо стаціонарні точки на екстремум: =–24 ( ;1)точка умовного максимуму; точка умовного мінімуму; =

= , =–8(0–0 4)=0. Для відповіді на питання чі є екстремум у точці , потрібно додаткрве дослідження , яке тут проводити не будемо.

Приклад 7. Знайти екстремум функції при наявності зв’язку .

Розв’язання.

Помножимо перше рівняння на , а друге на та додавши ці рівняння виключаємо з системи змінну та одержимо .З третього рівняння маємо , . З першого

Рівняння системи знайдемо , .Отже, стаціонарні точки функції Лагранжа є . Оскільки , , , то, як і у попередньому прикладі обчислимо у загальному вигляді

Перевіряємо стаціонарні точки на екстремум: =–4 точка умовного максимуму; точка умовного мінімуму

7. Метод найменших квадратів

В практиці часто зустрічається задача про аналітичне описання результатів експерименту.

Нехай за результатом експерименту одержана таблиця, яка визначає залежність величини

від Вигляд функції встановлюється за графіком, який будується за даними таблиці

			…
			…

Якщо експерементальні точки розташовані як на рис.5 то можно припустити, що і пов’язані лінійно , якщо як на рис.6, , то степеневою функцією , якщо як на рис.7 то параболою .

Рис.5

Рис.6

Рис.7

При обраному вигляді функції треба так підібрати параметри , щоб

найкращим чином визначала залежність, що вивчається.

Для цього застосовують метод найменших квадратів (МНК), який полягає в тому щоб функція (1)

була найменшою.У правій частині стоїть сума квадратів похибок наближення експерементальних точок функцією .Обмежимось випадком . Тоді функція від . За теоремою 1 підрозд.5

. (2)

Таким чином, для для знаходження параметрів треба розв’язати систему (2).

i	1	2	3	4	5

Прилад 8. Експериментально ододержана таблиця

	1	2	3	4	5
	4	3.9	4.2	5.	4.8

значень шуканої функції при 5 значеннях її

i	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5	=15
	4.	3.9	4.2	5.	4.8	=21.9
	1	4	9	16	25	=55
	4	7.8	12.6	20	24

аргументу. Знайти у вигляді .

Розв’язання.Система (2) буде така

10a=68.4-65.7=2.7

a=0.27, =3,57

Графік шуканої прямої y=0.27х+3.57 наведен на рис.8.

Рис.8