2.Предельный анализ
2.1.
В самых различных заадачах (в том числе
экономических) производная функции
интерпретируется как скорость изменения
величины
относительно
величины
.
Производная применяется в экономике для получения предельных издержек, предельной прибыли, предельной выручки предельной полезности , предельной производительности и т.д. Слово предельный в этих терминах означает производную как скорость изменения соответствующей функции. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Применение дифференциального исчисления исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа
2.2. Предельные
издержки (затраты). Пусть
–
функция издержек,
–издержки
(затраты),
–
количество произведенной продукции.
Пусть
–прирост
продукции, тогда
–
дополнительные затраты, связанныэ с
приращением
,
а
–
средние дополнительные затраты на
единицу продукции. Производная
(
при
малых
)
выражает предельные издержки производства
(ПИП) и характеризует приближенно
дополнительные затраты, связанные с
производством еще одной (
)–й
единицы продукции. ПИП– один из
показателей, спомощью которого фирмы
формируют свою производственную
стратегию.
Замечание
1.Частное, по определению, количество
делимого на единицу делителя ( а)
авто-мобиль прошел 50 км за
часа,
тогда частное –средняя скорость
=100км
за 1час.б) 10 яблок разделить на 4-х
студентов, частное
яблока
на одного студента)
при
малых
–дополнительные
затраты на единицу дополнительной
продукции (на единицу прироста продукции)
Пример1. Функция
издержек имеет вид.
.
1) Найти ПИП и
посчитать их значенияе в точке x=10.
2) Дать єкономическую интерпрета-цию
числа
.
Решение.
1).
.
2)
(при
малых
)
Пусть произведено 10 изделий. Дополнительные
издержки по производству 11-го изделия
приближенно равны
=9.
Пример2. Пусть
функция выпуска
–количество
единиц производимой за неделю продукции
от числа рабочих
.
1). Найти предельный
выпуск продукции за неделюпри х=70
раб.2). Объяснить экономический смысл
числа
.
Решение.
1).
.
2) Из
формулы
(при
малых
)
В цехе 70 рабочих. Дополнительный выпуск
продукции за неделю, вызванный появлением
71-го рабочего равен
ед.
В общем
случае, для функции
экономический смысл числа
–
это дополнительное приращение величины
,
возникшее при изменении аргумента
на
единицу..
3.Эластичность функции
Определение 2.Эластичностью функции называется следующий предел
.
(4)
Величины
называются, соответственно, относительным
изменением (приращением) функции
и
аргумента
.Процентное
изменение
и
соответственно
равно
,
.
Из определения
производной
следует,что
при
малых
.
Точно также из определения эластичности
при малых
,
следует, что эластичность приближенно равна отношению процентного изменепия функции к процентному изменению аргумента и эластичность покаэывает приближенно на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1% .
Пример 3. Функция спроса (количество ед. товара) от цены р (ден. ед.) имеет вид
.
Найти эластичность спроса при
(ден.ед.) . Объяснить экономический смысл
числа
.
Решение.
.
Экон-й смысл числа
:
при цене товара
(ден.ед.) увеличение цены на 1% приведет
к уменьшению спроса на 1.924% .