4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы

Задание 1. Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения:

.

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей , при :

.

Так как , при , то , при .

Аналогично находим условную плотность составляющей .

.

Так как , при , то , при . Таким образом:

,

.

Задание 2. В первом ящике 6 шаров, во втором ящике также 6 шаров:

1-й ящик	2-й ящик
1 шар с № 1	2 шара с № 1
2 шара с № 2	3 шара с № 2
3 шара с № 3	1 шар с № 3

Пусть – номер шара, вынутого из первого ящика, – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Найти дисперсию случайных величин и , коэффициент корреляции .

Решение. Запишем закон распределения системы случайных величин .

Случайная величина может принимать следующие значения: .

Случайная величина может принимать следующие значения: .

Вероятность того, что из первого ящика будет вынут шар с № 1 и из второго – шар с № 1, равна

.

Вероятность того, что из первого ящика будет вынут шар с номером 2, а из второго – шар с номером 1 равна:

.

Аналогичным образом вычисляем все остальные вероятности. В результате закон распределения будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1

	1	2	3
1
2
3

Для нахождения математического ожидания случайных величин и выпишем ряды распределения для величин и (так как они независимы).

Заметим, что

, ,

	1	2	3

Аналогично для

	1	2	3

Тогда ,

.

Для того чтобы найти дисперсию случайных величин и , запишем закон распределения для и (табл. 2).

Таблица 2

Тогда дисперсия случайной величины

.

.

Отсюда

, .

А коэффициент корреляции равен

.

.

Тогда .

Задание 3. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью:

, в области

и , вне этой области.

Область определяется неравенствами , .

Найти , , определить коэффициент корреляции .

Решение. Вычислим математическое ожидание случайной величины :

.

Точно так же .

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

*

Найдем интеграл:

**

**

.

Тогда

*

.

Следовательно: .

Определим ковариацию:

**

Используя формулу интегрирования по частям, получим

**

***

используя формулу интегрирования по частям, получим

***

.

Тогда

Задание 4. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

.

Решение. Составим расчетную табл. 1; для этого:

1. запишем варианты в первый столбец;

2. запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3. в качестве ложного нуля выберем варианту (17), которая имеет наибольшую частоту (в качестве можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3 а под нулем 1, 2;

4. произведения частот на условные варианты запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (А₁=--74) отрицательных чисел и отдельно сумму (А₂=14) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (-60) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

5. произведения частот на квадраты условных вариант, то есть , запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов; ); сумму чисел столбца (152) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

6. произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, то есть , запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (132) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца.

В итоге получим расчетную табл. 1.

Для контроля вычислений пользуются тождеством

.

Контроль:

, .

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

; .

Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами): .

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) :

;

.

Таблица 1

1	2	3	4	5	6
11	4	-3	-12	36	16
13	16	-2	-32	64	16
15	30	-1	-30	30	0
17	40	0	А1=-74		40
19	6	1	6	6	24
21	4	2	8	16	36
			А2=14

Задание 5. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

.

Решение. Составим расчетную табл. 2, для этого:

1. запишем варианты в первый столбец;

2. запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3. в качестве ложного нуля выберем варианту (65), которая имеет наибольшую частоту (в качестве можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю;

4. в оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 3; 3+4=7; 7+8=15; 15+14=29; 29+20=49; сложив все накопленные частоты, получим число , которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 2; 2+3=5; 5+6=11; 11+5=16; сложив все накопленные частоты, получим число , которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца;

5. аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца; сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число , которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца; сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу , которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца. В итоге получим расчетную табл. 1.

Таблица 1

1	2	3	4
40	3	3	3
45	4	7	10
50	8	15	25
55	14	29	54
60	20	49	0
65	35	0	0
70	5	16	0
75	6	11	18
80	3	5	7
85	2	2	2

Найдем , , :

;

;

.

Найдем условные моменты первого и второго порядков:

,

.

Вычислим искомые выборочную среднюю и выборочную дисперсию, учитывая, что шаг (разность между двумя соседними вариантами) и ложный нуль :

;

.