Айнымалыны ауыстыру әдісі. Бөліктеп, бөлшектеп интегралдау. Мысал:
Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру әдісі.
Теорема.
сегментінде анықталған үзіліссіз
функциясының
анықталған
интегралы берілсін делік.
формуласы
бойынша жаңа
айнымалысымен енгізейік. Сонда, егер
функциясы мынадай екі шарттарды
қанағаттандырса:
1)
функциясы
сегментінде анықталған үзіліссіз,
үзіліссіз
туындысы бар;
2)
-ның
мәні
-дан
-ға
дейін өзгергенде
функциясының мәндері
сегментінен шықпайды және
теңдіктері орындалса,онда
(2)
теңдігі орындалады.
Бұл теңдік анықталған интегралда айнымалыны алмастыру формуласы делінеді. Анықталған интегралды осы формуланы қолданып есептеуді оны айнымалыны алмастыру әдісі бойынша есептеу дейді.
Дәлелдемесі.
Теореманың шарты бойынша
функциясы
функциясының мәндері облысында
анықталған, демек, күрделі
функциясының мағынасы бар. Сонымен
қатар, теорема шартынан (2) формуланың
екі жағындағы да интеграл астындағы
функциялардың үздіксіздігі шығады,
яғни бұл интегралдың екеуі де бар болады.
Ал,
егер F(x) функциясы
функциясының
кесіндісіндегі алғашқы функциясы болса,
яғни
теңдігі орындалса, онда
кесіндісінде
теңдігі орындалатыны бізге бұрыннан
белгілі, яғни
функциясы
функциясының алғашқы функциясы болады.
Сондықтан Ньютон-Лейбниц формуласы
бойынша мына екі теңдіктің екеуі де
орындалады
Осы екі формуланы салыстыра отырып, дәлелдемекші (2) формуланы шығарып аламыз.
Осы
дәлелденген формуланы қолданғанда
алмастыруындағы көрсетілген екі шартты
қанағаттандыратын
функциясын формуланың оң жағындағы
интегралы бастапқы берілген интегралдан
гөрі оңай есептелінетіндей етіп алу
керек.
функциясын таңдап алудың жалпы ережесі
жоқ, оның түрін табу берілген интегралға
және оқушының интегралдау практикасына
байланысты болады.
Ескерту.
Анықталған
интегралды (2) формула бойынша айнымалыны
ауыстырудың жәрдемімен есептеуде
бастапқы айнымалы
-ке
қайта оралудың қажеті болмайды, ал бұрын
анықталмаған интегралдарды есептегенде
біз
-ке
қайта оралуға ділгер болатын едік. Бұлай
болудың себебі мынада: анықталған
интеграл - сан, сондықтан оның мәні
интегралдау айнымалысын қалай
белгілеуімізден тәуелді емес.
Мысал-8.
интегралын есептеп шығару керек.
Шешу:
Бұл
жерде
алмастырмасын қолдану ыңғайлы. Олай
десек,
болғанда
-де,
болса,
болады. Демек
шамасы
ден
-ге
дейін өзгереді. Ауыстырманың заңдылығын
тексерелік. Біріншіден, интеграл
астындағы функция
интегралдау аралығында үзіліссіз,
екіншіден, функция
өзінің туындысы
мен бірге
аралығында үзіліссіз, үшіншіден,
шамасы 0-ден
-ге
дейін үзіліссіз өзгергенде функция
үзіліссіз 0-ден
-ға
дейін өзгереді, сонымен бірге
және
болады. Сөйтіп, енгізілген ауыстырма
шынында да анықталған интегралдағы
айнымалыны ауыстыруға қойылатын
талаптардың барлығын да қанағаттандырады.
Ендеше, біз (2) формуласын қолдануға
құқықтымыз. Сонда:
.
Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау әдісі.
Теорема.
функиялары және олардың туындылары
кесіндісінде үздіксіз функциялар болса,
мына формула орындалады
(3)
Дәлелдемесі.
Берілген шарттар орындалғанда
болатыны белгілі. Осыдан, теңдіктің екі жағын да аралығында интегралдасақ, онда
(4)
болады. Әрі қарай Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша былай жазамыз:
.
Сонда (4) теңдік былай жазылады
.
Ал бұдан (3) формула шығады.
Бұл теңдік анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы делінеді. Осы формуланы қолданып, анықталған интегралды есептеуді бөліктеп интегралдау әдісі дейміз.
Мысал-12.
интегралын есептеп шығару керек.
Шешу:
Мұнда:
деп жорысақ,
болады. Сонда
.
9. Көп айнымалды функцияның үзіліссіздігі
Функцияның
шегі. Егер
кезкелген
0
саны үшін
0саны
табылып,
теңсіздігі орындалғанда,
|f
(x;
y)-
A|
=
теңсіздігі орындалса, онда z = f (x, y) функциясының M(x, y) нүктесінің M 0 (a, b) нүктесіне ұмтылғандағы шегі деп А санын айтады және оны былай жазады
lim f (x; y)=A.
x
a
y b
Үзіліссіздік және үзіліс нүктесі. Егер
lim f (x; y)= f (a; b)
x a
y b
тең болса, онда z = f (x, y) функциясын M 0 (a, b) нүктесіне үзіліссіз деп атайды. Егер
z = f (x, y) функциясы D облысының кезкелген нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны D облысында үзіліссіз деп атайды.
z = f (x, y) функциясы үшін үзіліссіздік шарты жекеленген нүктелерде (оқшауланған үзіліс нүктелер), бір немесе бірнеше сызықтар құрайтын нүктелерде (үзіліс сызығы) орындалмауы мүмкін.енді мысал келтірейік:
