11.2. Сложение гармонических колебаний

1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

_{Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (А1 ≠ А2, φ01 ≠ φ02):}

_{, .}

_{Результирующее движение, равное сумме колебаний х1 и х2, будет гармоническим колебанием той же циклической частоты ω:}

_{. (11.10)}

Рис. 11.3.

Определим амплитуду и начальную фазу результирующего колебания методом векторных диаграмм. Для этого проведем из точки О векторы _{и под углами φ01 и φ02 к оси Ох и приведем их во вращение с угловой скоростью ω (рис. 11.3).}

_{Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол φ2 – φ1 между ними все время остается неизменным. Проекции векторов и на ось Ох совершают гармонические колебания. Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось Ох вектора , полученного из векторов и по}

_{правилу параллелограмма. Из построения на рис. 11.3 следует, что (по теореме косинусов)}

_,

_{. (11.11)}

_{Из треугольников ∆ОА1В и ∆ОАС для начальной фазы φ0 результирующего колебания следует выражение}

_{. (11.12)}

_{Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.}

_{1а. ,}

_{то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.}

_{1б. ,}

_{то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга.}

2. _{Биения – это колебания, которые возникают в результате сложения двух гармонических колебаний х1 и х2 одного направления с близкими частотами (ω2, ω1 >> ∆ω = ω2 – ω1):}

_.

_{Рассмотрим подробнее результаты сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: А1 = А2 = А. Используя известную формулу сложения косинусов, получим:}

_{и определим:}

_{. (11.13)}

_{Первый сомножитель в выражении (11.13) изменяется со временем значительно медленнее второго (∆ω << ω1, ω2), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой ω = (ω1 + ω2)/2 и с изменяющейся со временем амплитудой биений:}

_{. (11.14)}

_{Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой; эти колебания не являются гармоническими. При этом период изменения амплитуды (период биений ТБ) и циклическая частота биений Ω будут определяться по формулам:}

_{. (11.15)}

_{На рис. 11.4 приведены графики изменения амплитуды биения АБ и смещения х м. т. от времени. Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов.}

Рис. 11.4.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

_{Допустим, что м. т. может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, м. т. будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:}

_{, (11.16)}

_{где ∆φ – разность фаз обоих колебаний.}

_{Чтобы получить уравнение траектории движения в обычном виде, нужно исключить из уравнений (11.16) параметр t. Из первого уравнения следует, что}

_{cos ωt = x/A1.}

_{Следовательно,}

_.

_{Теперь преобразуем второе уравнение (11.16). В результате получим}

_.

_{Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду}

_{. (11.17)}

_{Последнее уравнение является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у.}

_{Определим траекторию движения для некоторых частных случаев.}

1. _{∆φ = 0. В этом случае уравнение (11.17) принимает вид}

_,

_{Откуда получается уравнение прямой}

_.

_Р

Рис. 11.5.

езультирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой ω и амплитудой, равной _{(рис. 11.5а).}

2. _{∆φ = ± π. Уравнение (11.17) имеет вид}

_,

_{Откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис.11.5б)}

_.

3. _{При ∆φ = ± π/2 уравнение (11.17) переходит в}

_,

_{т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям (рис.11.5в).}

_{Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и отношение частот число рациональное, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных замкнутых кривых, называемых фигурами Лиссажу.}

Лекция 12