21. Нелинейная парная регрессия. 2 типа нелинейных регрессий.
При моделировании эконом процессов не всегда можно обойтись линейной функцией, так же при этом возникают большие ошибки. В этих случаях используют нелинейные регрессии. Они делятся на 2 класса: 1) линейные по оцениваемым параметрам; 2) нелинейные по оценивавшим (2-ой степени); 2) логарифмическая модель у=β0+β1*Ln х+ε; 3) гиперболическая модель у=β0+β1*1/х+ε (равносторонняя гипербола). Ко 2-му классу можно отнести: 1) степенную модель у=β0*хβ1*ε; 2) показательная модель у=β0*β1х*ε; 2) Экспонинцеальная у=еβ0+β1*х*ε.
Перечисленные модели 2-го класса явл-ся мультипликативными относительно возмущения ε. Помимо таких моделей существуют аддитивные относительно возмещению ε. у=β0*хβ1+ε и у=еβ0+β1*х+ε.
Метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров нелинейных моделей непосредственно применять нельзя, т.к. система норм уравнений, из кот-х определяются параметры моделей не явл-ся линейной и для ее решения, требуются специальные численные методы. Для оценки параметров таких моделей используются 2 подхода: первый их них основан на линеаризации модели и он заключается в том, что с помощью соот-х преобразований, исходных переменных х (или у) и искомую зависимость представляют в виде линейного соответствия м/у преобразованными переменными. Второй подход используют в тех случаях, когда линеаризацию моделей выполнить невозможно и в этом случае для оценки параметров применяют численные методы нелинейной оптимизации.
Рассмотрим как выполняется линеаризация модели: наиболее просто это выполняется для моделей 1-го класса линейных по параметрам.
у=β0+β1*1/х+ε . Введем новую переменную: Х=1/n
у=β0+β1*Х+ε (это уже линейная модель)
,
,
= b0+b1*(1/х)
Аналогично и для логарифмической и т.д.
Сложнее
выполняется линеаризация модели 2-го
класса мультипликативных относительно
.
Рассмотрим
на примере степенной модели: у=β0*хβ1*ε
(логарифмируем)
ln y=ln (β0*хβ1*ε)=ln β0+ β1*ln х+ln ε
Введем переменные Y=ln y; X=ln X; β0'=ln β0; ε`=ln ε.
Y= β0'+ β1X+ ε`
Применим
МНК:
,
,
б
,
=
b0*xb1
y=β0xβ1+ε
ln y=ln(β0xβ1+ε) (не логарифмируется)
Для оценки точности нелинейных регрессий используют величину аналогичную коэф детерминации и называемую индексом детерминации.
Индекс детерминации используется для проверки значимости нелинейных уравнений регрессии с помощью критерия Фишера: F=(R2/(1- R2)) * ((n-m-1)/m), где m- число парной модели.
Сравнивается с Fкр, , k1=m, k2=n-m-1. Если F>Fкр, следовательно, уравнения статистически значимы. Пусть R2 – индекс детерминации, r2ху- коэф детерминации линейной модели. Разница м/у 0<= R2 - r2ху<=0,1, то нелинейную модель можно заменить линейной, более простой. В противном случае, т.е. R2 - r2ху>0,1 используют t-статистику t= (R2 - r2ху)/m |R-rху|
где
Если |t|>tкр, то различия м/у показателями R2 и существенны и замена нелинейной модели на линейную недопустима.
Индекс
корреляции это R=
2.
0<=R<=1
22. Линеаризация нелинейных моделей. Примеры.
Метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров нелинейных моделей непосредственно применять нельзя, т.к. система норм уравнений, из кот-х определяются параметры моделей не явл-ся линейной и для ее решения, требуются специальные численные методы. Для оценки параметров таких моделей используются 2 подхода: первый их них основан на линеаризации модели и он заключается в том, что с помощью соот-х преобразований, исходных переменных х (или у) и искомую зависимость представляют в виде линейного соответствия м/у преобразованными переменными. Второй подход используют в тех случаях, когда линеаризацию моделей выполнить невозможно и в этом случае для оценки параметров применяют численные методы нелинейной оптимизации.
Рассмотрим как выполняется линеаризация модели: наиболее просто это выполняется для моделей 1-го класса линейных по параметрам.
у=β0+β1*1/х+ε . Введем новую переменную: Х=1/n
у=β0+β1*Х+ε (это уже линейная модель)
, , = b0+b1*(1/х)
Аналогично и для логарифмической и т.д.
Сложнее выполняется линеаризация модели 2-го класса мультипликативных относительно . Рассмотрим на примере степенной модели: у=β0*хβ1*ε (логарифмируем)
ln y=ln (β0*хβ1*ε)=ln β0+ β1*ln х+ln ε
Введем переменные Y=ln y; X=ln X; β0'=ln β0; ε`=ln ε.
Y= β0'+ β1X+ ε`
Применим МНК: , , б , = b0*xb1
y=β0xβ1+ε
ln y=ln(β0xβ1+ε) (не логарифмируется)