2. Зовнішні диференціальні форми

Перш за все введемо поняття дотичного простору. Нехай . Позначимо через множину всіх функцій f, визначених в деякому (залежному від f) околі U точки і неперервних в точці . А через множину тих функцій , які, крім того, диференційовані в точці . В просторах і визначені слідуючі операції: додавання, добутку і добутку на дійсне число. Із , і випливає, що . Дотичним вектором в точці називається лінійне відображення , що володіє слідуючими додатковими властивостями:

а)

б) якщо , і , то ;

в) при .

Дотичні вектори в точці утворюють n-вимірний векторний простір , який утворюється частинними похідними , v=1,…,n. При цьому - це дотичний вектор, що визначається умовою . Простір називається дотичним простором в точці .

Означення 2.1. Зовнішні р-лінійні форми в дотичному просторі називаються (зовнішніми) диференціальними формами порядку р в точці (або, короче, зовнішніми р-формами).

Е¹ = є векторним простором пфаффовых форм в точці х₀. Цей простір створюється формами , де

Форми утворюють базис, спряжений з базисом- , v=1,…,n простору .

Виходячи з базиса { } простору Е¹, ми побудуємо деякі базиси спеціального вигляду в просторах Е^р і підрахуємо розмірність цих просторів.

Твердження 1. а) При р>n кожна диференціальна р-форма рівна нулю.

б) Якщо зовнішня р-форма приймає нульові значення на всіх р-наборах виду

, де то

Твердження 2. Мають місце рівності

0, якщо ,

+1, якщо отримується з за допомогою парного числа транспозицій,

-1, якщо це число транспозицій непарне.

Теорема 2.1. Для кожного р 0 розмірність ; р-форми спеціального виду

, де

при р 1 створює базис простору . Тому кожну форму можна єдиним чином записати у вигляді

.

Твердження 3. Має місце рівність .

Теорема 2.2. Якщо і , то

Цей так називаючий знакозмінний закон замінює звичайний комутативний закон.

3.Диференційовані відображення

Нехай - відображення, диференційоване в точці х₀ допустимої множини . Тоді умовою

при ,

відображення F визначає гоморфізм дотичних просторів

, де

Якщо — довільна р-форма в точці у₀ (яка може бути і не кососиметричною) і р 1, то умовою

(при )

ми визначаємо деяку нову р-форму в точці х₀. Для 0-форм, тобто для чисел, ми покладаємо . Відразу перевіряємо, що р-форма завжди являється р-лінійною. Разом з і форма є кососиметричною (тобто диференціальною формою).

Нехай, далі, Р — відображення , диференційоване в точці , V — допустима множина, що містить точку у₀ = F(х_о), і G — відображення диференційоване в точці у₀. Тоді для р-форми в точці z₀=G(у₀) має місце рівність

Насправді, це випливає з формули .

Накінець відмітимо ще, що .

Теорема 3.1. Відображення володіє слідуючими властивостями:

1. , (де );

2. , (де і );

Корисна ще

Теорема 3.2. Якщо

і якщо, крім того, відображення F задається функціями , то

.

Розділ 4. Диференціальні форми на допустимих множинах

Нехай М — множина в .

За допомогою операції над формами в точці очевидним чином визначаємо додавання і добуток диференціальних форм на множині М:

При такому означенні диференціальні р-форми на М створюють векторний простір.

Якщо кожній точці х М ми поставимо у відповідність диференціальну р-форму

то ми отримаємо деяку визначену диференціальну форму на множині М, яку ми знову будемо позначати символом . Всяку диференціальну форму порядку р можна единим чином записати в канонічному видляді

де —деякі дійсні функції, визначені на множині М. Тому розумно слідуюче

Означення 4.2. Диференціальна р-форма на множині М називається неперервною в точці х М, якщо коефіцієнти форми , записаної в канонічному вигляді, неперервні в точці х₀. Якщо множина М допустима, то форма називається диференційованою (відповідно неперервно диференційованою, n раз неперервно диференційованою, незкінченно диференційованою), якщо цією властивістю володіють функції .

На векторних просторах диференційовних р-форм вводять диференціальний оператор, що являє собою узагальнення поняття повного диференціала функції. Нагадаємо спочатку це останє поняття.

Якщо функція f диференційована в точці х₀ і , то умова

Визначає деяку пфаффову форму — повний диференціал функції . Справедливе правило Лейбніца

Ось канонічний вигляд форми :

Якщо функція диференційована в кожній точці множини М, то являється диференціальною 1-формою на множині М. Тепер ми дамо

Означення 4.3. Нехай

— деяка р-форма, визначена на допустимій множині М і диференційована в точці х₀ М. Під зовнішнім диференціалом форми в точці х₀ розуміють диференціальну форму порядку р+1

визначену в точці х₀.

Форму називають також зовнішньою похідною форми . По більшій мірі ми будемо писати скорочено: . Таким чином,

Якщо форма диференційована на всій множині М, то відповідність є визначеною на множині М (р+1)-формою . Очевидно, являється R-лінійним оператором:

Теорема 4.1. Якщо і — диференціальні форми відповідно поряду р і q, визначені на допустимій множині М і диференційовані в точці х₀ М, то

Теорема 4.2 Нехай f – функція, диференційовна на компактному кубі М з ребрами, паралельними осям координат, і двічі диференційовна в точці х₀ М. Тоді в точці х₀.

Теорема 4.3. Нехай - диференціальна форма, диференційована на компактному кубі М з ребрами, паралельними осям координат, і двічі диференційована точці х₀ М, то в цій точці .

Введемо слідуючу термінологію:

Означення 4.4. Диференційовна (в точці х₀) диференціальна форма називається замкнутою (в точці х₀), якщо =0 (відповідно ). Диференційовна форма називається точною (в точці х₀), якщо існує диференційована (в точці х₀) диференціальна форма , для якої (відповідно ).

Із теореми 4.3 випливає

Теорема 4.4. Якщо диференціальна форма на відкритій множині М являється точною, то вона замкнута.

На закінчення розглянемо ще поведінку диференціальних форм і зовнішнього диференціала при диференційовних відображеннях. Нехай М — допустима множина в і —довільна множина. Нехай, далі, диференційовне відображення. Якщо відображення задається функціями і

- деяка диференціальна форма порядку р на множині , то умова

(де у= (х))

визначає на множині М диференціальну р-форму , яка на основі теореми 3.2 може бути записана у вигляді

.

Якщо відображення F нескінченно диференційовне і множина N допустима, то форма володіє тими ж властивостями диференційованості, що і форма . Має місце

Теорема 4.5. Нехай форма диференційована в точці (множина N повинна бути допустимою), і нехай відображення Р двічі диференційоване в точці х₀, для якої .Нехай, крім того, існує такий компактний куб U з ребрами, паралельними осям координат, що х₀. Тоді