6.3.3 Умова потенційності поля

В якості визначення потенційного поля зазвичай приймають одне із таких властивостей:

1. Робота залежить тільки від початкової і кінцевої точки шляху і не залежить від траєкторії руху;

2. Силове поле є градієнтом деякої скалярної функції (потенціалу), тобто

.

Безпосередня перевірка цих умов була б надзвичайно складна. Спираючись на властивості криволінійних інтегралів можна показати, що друга умова є наслідком першої.

Покажемо, що достатньою умовою потенційності поля є рівність його ротора нулю. Припустимо, що в деякій області виконується умова

rot = .

Розглянемо роботу, виконувану при переміщенні по траєкторіях APB і AQB (див. малюнок 7). Робота, як відома, може бути обчислена криволінійним інтегралом другого роду по траєкторії руху. Розглянемо різницю роботи на траєкторіях APB і AQB:

A₁ - A₂ = ,

бо при зміні напрямку руху на протилежний робота змінює знак. Враховуючи властивість адитивності інтегралів, отримуємо, що

A₁ - A₂ = .

Рис.7. – Незалежність роботи від шляху

Нехай S поверхня, границя якої є замкнутим контуром APBQA. Застосуємо формулу Стокса:

A₁ - A₂ = .

Таким чином для векторного поля з нульовим ротором робота не залежить від шляху.

Легко переконатися, що рівність нулю ротора є також і необхідною умовою потенційності поля. Припустимо, що = grad U. У цьому випадку ротор векторного поля rot = rot grad U =

формально являє собою векторний добуток векторів, що відрізняються тільки скалярним множником, і дорівнює нулю. Для звичайних векторів це відповідає тому факту, що векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю. Вектор «Набла» ніякого напряму, зрозуміло, не задає. Однак, істинність результату можна встановити безпосереднім обчисленням:

Пояснимо останню рівність. Якщо всі компоненти векторного поля мають безперервні частинні похідні, то умови теореми про перестановку порядку диференціювання виконані. Змішані похідні функції U, що відрізняються лише порядком диференціювання, збігаються.

Відтак всі дужки в останньому виразі тотожно дорівнюють нулю.

Отже, необхідною і достатньою умовою (критерієм) потенційності векторного поля, є тотожна рівність нулю його ротора. Доведення цього факту, як було показано вище, спирається на формулу Стокса.

6.3.4 Заключні зауваження

Термін «ротор» походить від латинського rotare - обертати (лат. rotatio - обертання). Цей термін часто використовується в техніці, де він позначає обертові частини техніки (електричної машини, турбіни, гідронасоса і т.д.). У той же час, для позначення диференціального оператора в деяких книгах замість терміна «ротор» використовується термін «вихор». Також по-різному позначається його оператор. Поряд із записом і rot в літературі, особливо англомовної, часто використовується запис curl (англ. to curl - скручувати).

Крім формули, що зв'язує ротор з градієнтом, яка була розглянута вище, корисно знати зв'язок ротора з ще одним диференціальним оператором – дивергенцією. Дивергенцію вектора формально можна записати, як скалярний добуток цього вектора і символічного вектора Набла:

div = ,

де P, Q, i R координати вектора .

Дивергенція ротора

div rot =

формально являє собою мішаний добуток, що містить два однакових співмножники, і, з цієї точки зору, повинен дорівнювати нулю. В істинності співвідношення

div rot

можна переконатися прямим обчисленням. Це співвідношення корисно використовувати для перевірки правильності обчислення ротора.