70. Основные определения о нелинейных сау

Нелинейной называется такая САУ, у которой зависимость между входными и выходными переменными одного или нескольких элементов описывается нелинейными уравнениями.

Все реальные элементы и системы, строго говоря нелинейны, и к понятию линейной системы приходят путем линеаризации. Но на практике встречаются такие нелинейные элементы, к которым операция линеаризации по малому отклонению не применима. Такие нелинейности называют существенными. На рис.7.1. приведены примеры таких нелинейностей. На рис.7.1а показана характеристика идеального реле, на рис.7.2б – характеристика с зоной насыщения, на рис.7.1в – нелинейная характеристика типа “модуль”.

Нелинейные системы, по сравнению, с линейными обладают целым рядом особенностей.

Прежде всего, к нелинейным дифференциальным уравнениям не применим принцип суперпозиции. Нелинейные дифференциальные уравнения не имеют каких – либо общих методик решения. Для исследования нелинейных дифференциальных уравнений нельзя использовать аппарат преобразований Лапласа и Фурье.

Рис.7.1. Примеры существенных нелинейностей.

Судить об устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основании теорем Ляпунова, по дифференциальным уравнениям линеаризованных систем, можно только при малых отклонениях от установившегося движения, т е. можно судить только об устойчивости в малом. Между тем, нелинейная система, устойчивая в малом, может быть неустойчивой при больших отклонениях. Различают, кроме устойчивости в малом, следующие виды устойчивости нелинейных систем. Система называется устойчивой в большом, если она устойчива при больших конечных по величине отклонениях. Система называется устойчивой в целом, если она устойчива при любых, не ограниченных по величине, начальных отклонениях. Если система асимптотически устойчива в целом, то ее называют абсолютно устойчивой.

Особенностью нелинейных систем является возникновение в них, при некоторых начальных условиях, гармонических колебаний с определенной амплитудой и частотой, так называемых предельных циклов. Если предельный цикл устойчив, т.е. к нему сходятся все траектории сверху и снизу в определенном диапазоне начальных условий, то он называется автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний зависят только от параметров системы.

71. Обзор методов расчета нелинейных систем

Методы, интегрируемой аппроксимации: а) линейная, б) кусочно-линейная, в) нелинейная интегрируемая.

Принцип первого вида аппроксимации основывается на до­пущении, что основные параметры системы имеют постоянное значение, соответствующее выбранной точке, что позволяет при­менить, методику линейного анализа. Последний имеет силу лишь для ограниченной зоны вблизи рабочей точки (малые сиг­налы или малые отклонения, или же малая степень нелинейно­сти).

Второй вид аппроксимации предназначен для случая сравни­тельно больших сигналов и заключается в составлении линей­ных дифференциальных уравнений для каждого прямолинейно­го участка, на которые разбита нелинейная характеристика. Об­щее решение сводится в этом случае к решению ряда неоднород­ных линейных уравнений. Требуемый объем вычислений обычно велик, особенно если система высокого порядка или нелиней­ность такова, что для точной аппроксимации требуется разбивка характеристики на большое число линейных отрезков.

В случае применения третьего вида аппроксимации решение уравнения находят путем замены характеристики нелинейного элемента некоторой близкой к ней кривой, которая может быть написана аналитически.:

Численно-графические методы. Исследование и расчет нелинейных систем может производиться путем численных и гра­фических методов интегрирования нелинейных дифференциаль­ных уравнений.

Целесообразно проводить расчет нелинейной системы комби­нированным путем, т. е. предварительно использовать какой-ли­бо приближенный метод, а затем для уточнения и проверки пра­вильности выбранных параметров провести расчет численным или графическим путем или же при помощи моделирования.

Методы фазовых траекторий. Эти методы основаны на введении некоторых наглядных понятий и представлений геометри­ческого характера. Основным из них является понятие фазового пространства, которое дает полное представление о характере возможных движений в системе.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка. Ее состояние может быть охарактеризовано n чис­лами, которые можно рассматривать как задание некоторой точ­ки в n-мерном пространстве, причем каждой точке этого прост­ранства будет соответствовать одно определенное состояние (определенная фаза) системы. Поэтому такое пространство на­зывается фазовым пространством.

В основном область применения этого метода ограничена си­стемами не выше третьего порядка, однако он может оказаться полезным и для проверки различных приближенных методов, применяемых к системам более высокого порядка.

Для систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка, фазовое пространство (в этом частном случае) превращается в фазовую плоскость.

Недостатком метода является его ограничение системами вто­рого порядка и возмущающими функциями вида ступенчатого воздействия или линейно нарастающего сигнала.

Методы малого параметра. Основные исследования по ме­тоду малого параметра были проведены французским матема­тиком Пуанкаре и русским ученым Ляпуновым. В дальнейшем были разработаны различные варианты метода малого парамет­ра, успешно применяемые в радиотехнике и теории автоматиче­ского управления, составившие целую группу методов малого параметра. Последняя может быть разделена на две подгруппы методов: аналитические и графоаналитические.

Наиболее ранними являются методы Ляпунова, Рэлея и Ван дер Поля. Метод последнего был строго обоснован Мандель­штамом, Папалекси и Андроновым, которые также развили ме­тод Пуанкаре.

Булгаков развил свой оригинальный метод малого параметра применительно к системам высокого порядка. Крылов и Боголюбов разработали на этой же научной базе принцип так называе­мого гармонического баланса, а Теодорчик - принцип энергети­ческого баланса. Графоаналитические варианты, базирующиеся на указанных принципах, разрабатывались Гольдфарбом, Теодорчиком, Поповым и др.

Графоаналитический метод гармонического баланса (метод гармонической линеаризации) представляет собой результат распространения частотной линейной методики на исследование нелинейных систем. Как известно, при гармонических сигналах на входе нелинейного звена на выходе последнего будут иметь место периодические несинусоидальные величины, которые мож­но разложить на основную и высшие гармоники. Если последни­ми пренебречь, а рассматривать только основную гармонику, то можно вычислить комплексный коэффициент усиления нелиней­ного звена по первой гармонике, который является своеобраз­ным аналогом передаточной функции. Таким образом, этот ме­тод позволяет использовать обычный линейный частотный аппа­рат с некоторыми видоизменениями.

Методы моделирования. Исключительно важное значение для анализа и синтеза нелинейных систем автоматического уп­равления за последнее время приобретают методы математического моделирования в связи с широким распространением электронных вычислительных машин, как специализированных, так и общего назначения.

Поскольку сложная нелинейная задача не может быть, реше­на в общем виде, то для нахождения оптимального, или просто приемлемого варианта, нужно решить значительное число част­ных задач. Подобная работа проще всего может быть выполнена на моделирующей установке. С её помощью можно промодели­ровать весьма сложные системы со многими нелинейностями и обследовать широкую область начальных условий и внешних возмущений, причем коррекцию целесообразно выполнять при помощи последовательных приближений.

Однако и в этом случае аналитические и графические мето­ды анализа могут оказаться весьма полезными, так как они по­зволят предварительно нащупать оптимальную структуру систе­мы и зону варьирования параметрами.

В некоторых случаях существенные черты влияния отдельных нелинейностей проще раскрываются при помощи фазовой харак­теристики (фазового портрета системы), а не переходной. Поэто­му предварительное изучение задачи тем или иным методом может дать значительную экономию времени, умень­шить объем полученного материала и сократить время для его анализа.