69. Логарифмический критерий устойчивости сау

Логарифмический критерий устойчивости

Амплитудно-фазовый частотный критерий устойчиво­сти Найквиста легко может быть интерпретирован в ло­гарифмической форме. Соответствующим точкам и зна­чениям амплитудно-фазовой частотной характеристики, очевидно, будут соответствовать вполне определенные точки и значения логарифмических амплитудной и фа­зовой частотных характеристик. Так, точкам пересече­ния кривой K(jω) с отрезком —1 —∞ отрицательной вещественной полуоси будут соответствовать фазы θ(ω)=—π,—Зπ, —5π и т. д. и значения амплитуды в логарифмическом масштабе L(ω) >0. Принимается, что когда логарифмическая фазовая характеристика при положительных значениях L(ω) пересекает при возра­стании частоты фазовое значение, равное —180° (иначе —π), снизу вверх, то это является положительным пере­ходом, а сверху вниз — отрицательным переходом.

Амплитудно-фазовые характеристики трех систем (устойчивых в разомкнутом состоянии) показаны на рисунке 69,а и в. Одна из этих систем, неустойчивая в замкнутом состоянии, имеет характеристику 2, пока­занную на рисунке 69,а.

Для всех трех систем построены соответствующие ло­гарифмические амплитудные и фазовые частотные ха­рактеристики (рисунок 69. б и г).

Для наглядности предполагается, что фазовая характеристика θ(ω), приведенная на рисунке 69,б общая для обеих амплитудных характеристик L1(ω) и L2(ω). Для систем обычного (не клювообразного) вида ам­плитудно-фазовая характеристика, приведенная на рисунке 69. а, при изменении ω от 0 до +∞ пересекает отри­цательную вещественную полуось только 1 раз при частоте ω1, где θ(ω)=-π. Этим точкам соответствует на ЛФЧХ (рисунок 69,б) точка М пересечения фазовой кри­вой θ(ω)с линией θ°= — π = — 180°. Из рисунка 69,а вид­но, что амплитуда вектора K(jω) становится равной единице при пересечении амплитудно-фазовой характе­ристики с окружностью единичного радиуса, проходя­щей через точку (—1, j0) и имеющей центр в точке 0; этой точке пересечения соответствует частота обозначенная на рисунке 69,а и б через ωс. Обозначения ωс1 и ωс2 относятся соответственно к характеристикам 1 и 2. На ЛАЧХ (рисунок 69,б) этим частотам соответствуют ча­стоты ωс1 и ωс2. Частоты, при которых происходит пере­сечение характеристик, L1(ω) и L2(ω) с осью абсцисс называются частотой среза и обозначаются ωс.

Согласно критерию устойчивости Найквиста замкну­тая система будет устойчива при рассматриваемых фор­мах амплитудно-фазовых характеристик, если точка с частотой ω1 (рисунок 69,а) будет лежать правее точки (—1, j0). Расстояние между этими точками характери­зует запас устойчивости по амплитуде.

И з рисунка 69,а видно, что если замкнутая система устойчива, то ωс1< ω1,а если она неустойчива, то ωс2< ω1. Это означает, что для системы (устойчивой в за­мкнутом состоянии) точка ЛФЧХ, определяемая фазой — 180°, должна соответствовать области отрицательных значений L(ω). Величина отрицательной ординаты L(ω) б1 (рисунок 69,б) представляет собой запас устойчивости по амплитуде.

Рисунок 69 - Обычные и логарифмические частотные характеристики системы