§3.2.4. Фундаментальная система решений

Соотношения

(2)

образуют однородную систему линейных уравнений от неизвестных, .

Будем записывать решения системы линейных уравнений в виде векторов .

Теорема. Совокупность всех решений однородной системы линейных уравнений = подпространство линейного пространства строк .

Доказательство. Система совместна, так как имеет нулевой ранг. Очевидно, что сумма двух решений – вновь решения этой системы; произведение решения на элемент – вновь решение. Следовательно, множество всех решений само образует линейное пространство над полем К. ■

Теорема. Размерность линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений равна разности между числом неизвестных и рангом матрицы системы.

Доказательство. Пусть – ранг матрицы системы. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что базисный минор располагается в левом верхнем углу матрицы. Разрешив систему относительно первых переменных, получим

Придавая свободным переменным нулевые значения всем, кроме одной, получим решения

Эти решения линейно независимы.

Если – произвольное решение системы (1), то

Отсюда,

Векторы образуют базис линейного пространства решений, поэтому его размерность равна . ■

Базис линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений называют фундаментальной совокупностью решений (кратко ФСР). Если – ФСР, то – решение системы (2) при любых из поля К, которое будем называть общим решением системы (2). ФСР, найденную в процессе доказательства теоремы, называют нормальной.