§3.2.2. Правило Крамера

Назовем системой крамеровского типа систему, в которой число неизвестных равно числу уравнений и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля:

.

Введем также следующие обозначения:

, , . . . , ,

– алгебраическое дополнение элемента матрицы А, .

Теорема. Система крамеровского типа совместна, имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

.

Доказательство. Докажем, что эти значения переменных удовлетворяют системе:

.

Аналогично проверяется, что числа удовлетворяют остальным уравнениям. Следовательно, доказано, что система совместна.

Предположим, что – другое решение системы. Тогда

,

,

т.е. система имеет единственное решение. ■

Пример. Решить систему

Решение 1 (правило Крамера).

Решение 2 (с помощью обратной матрицы по формуле ).

, , , , .

Ответ:

Решение 3 (метод исключения неизвестных).

~ ~ ~ ~

~ ~ .

Ответ :

§3.2.3. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений

(1)

Матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, будем называть матрицей коэффициентов системы или просто матрицей системы:

.

Элементы называются свободными членами системы. Введем в рассмотрение столбец В свободных членов и рассмотрим матрицу С системы:

, С = .

Теорема (Кронекера и Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Доказательство.



Пусть – решение системы (1). Тогда в матрице С последний столбец – линейная комбинация остальных с коэффициентами соответственно. Отсюда

С ~ .

Матрица С эквивалентна матрице, полученной приписыванием к матрице А столбца из нулей. Её ранг равен рангу матрицы А, т.е. rA = rC.



Если С, то базисный минор матрицы С можно выбрать так, что он не включает свободные члены. Без ограничения общности теоремы можно считать, что он расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда, по теореме о базисном миноре, столбец из свободных членов - линейная комбинация первых столбцов матрицы А. Если коэффициенты этой линейной комбинации, то набор значений переменных – решение нашей системы.

Система совместна. А это значит, что теорема доказана полностью. ■

Алгоритм решения систем линейных уравнений.

1. Находим ранги матриц А и С и сравниваем их. Если С, то система несовместна.

2. Если С = , то находим базисный минор матрицы А.

3. Уравнения, коэффициенты которых не вошли в базисный минор, отбрасываем.

4. Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, объявляем свободными и переносим в правую часть каждого уравнения.

5. Свободным переменным придаем произвольные значения.

6. Полученную систему крамеровского типа решаем по правилу Крамера.

Упражнения

1. При каком значении система линейных уравнений совместна

а) б)

2. Найти условия необходимые и достаточные для того, чтобы сумма двух решений или произведение одного решения на элемент было снова решением той же системы линейных уравнений.