Формула трапеций.

Основана на том, что на отрезке дуга кривой заменяется хордой, окаймляемой концы этой дуги. При этом площадь криволинейной трапеции заменяется площадью трапеции с основаниями и и высотой

(3)

Тогда суммируя равенство (3) получим квадратурную формулу трапеции

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

,

Таким образом, формула трапеций имеет второй порядок точности.

75. Числовые последовательности, их виды. Арифметические операции над числовыми последовательностями. Предельные точки, предел, верхний и нижний пределы последовательности и условия их существования. Свойства сходящихся последовательностей.

Опр. Функция f:N X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 1) 1,2,..., n,...; 2) 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...; 3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Арифметические операции над последовательностями.

Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 называются соответственно последовательности

{(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n)}.

Опр. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если  M (m), такое, что для любого n N x_n M (x_n m).

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть  c > 0 такое, что |x_n|  c для любого n N. (c=max{|m|,|M|}).

Пример.1,...,n,... — ограничена снизу, но не ограничена сверху; {1/n} – ограничена, т.к. 0< x_n 1 ;

Опр Последовательность {x_n }называется неограниченной, если  c>0  N: |x_N| > c

Опр. Последовательность {x_n }называется бесконечно большой (ббп), если  c  N n>N: |x_n| > c.

Опр. Последовательность {x_n }называется бесконечно малой (бмп),  ε>0  N n>N: |x_n| < ε.

Опр. Последовательность {x_n }называется сходящейся к числу a, a= , если {x_n-a} – бмп.

Опр’. Число a называется пределом x_n, если  > 0  N:  n > N |x_n-a |< .

Предел числовой последовательности обозначается = a или x_n a при n. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Опр. Пусть f:N R, тогда f:K R – подпоследовательность последовательности f, где К – бесконечное подмножество N.

Опр. Точка x называется предельной точкой последовательности {x_n }, если существует подпоследовательность {x_к }, сходящаяся к х.

Опр’. Точка x называется предельной точкой последовательности {x_n }, если в любой ее окрестности находится бесконечное число элементов этой последовательности.

Пусть Р – множество всех предельных точек последовательности {x_n }.

Опр. Наибольшая предельная точка max P= наз. верхним пределом последовательности .

Наименьшая предельная точка min P=x наз. нижним пределом последовательности .

Теорема. Если последовательность {x_n } ограничена, то существуют и .

Свойства сходящихся последовательностей:

1. Если последовательность сходится, то предел единственен.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

3. Если x_n = a, y_n = b, тогда

x_n y_n = ab; x_ny_n = ab; x_n/y_n = a/b, при b 0.

4. Если n x_n>b, x_n сходится, тогда x_n > b.

5. Если n x_n> y_n, x_n ,y_n

=одится, тогдаедовательностейсть тся бесконечное число элементов элементов этой последовательности.0000000000000000000000000000 сходятся, x_n > y_n.

6. Если n x_n≤ y_n≤ z_n , x_n = z_n=a, то существует y_n=a.