Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен подынтегральной функции с точностью до произвольной постоянной:

.

3. Интеграл от производной функции f(x) равен этой функции с точностью до постоянной:

.

Для отыскания неопределенных интегралов используют правила интегрирования и таблицу простейших интегралов.

Правила интегрирования

1. Постоянный множитель A выносится за знак интеграла:

.

2. Интеграл суммы (разности) нескольких функций равен сумме (разности) их интегралов:

.

Таблицу неопределенных интегралов можно получить, исходя из таблицы производных и правил дифференцирования:

Таблица простейших неопределенных интегралов

№		Проверка:
1
2
3

Продолжение таблицы

4		,
5
6
7
8
9
10
11

Лекция 12

3.2 Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование – вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов, правил интегрирования и свойств неопределенных интегралов.

Пример 1. +С .

Использована формула тригонометрии: .

Пример2.

здесь выполнено очевидное преобразование подынтегрального выражения, и вместо переменной интегрирования х принято выражение (a–bx), относительно этой переменной получается табличный интеграл. Такой прием иногда называют «загонкой» под знак дифференциала некоторого выражения.

Действительно: .

2. Метод замены переменной. Метод подстановки.

Пусть y=f(x), xÎ X. Введем новую переменную t, положив x=j(t), tÎ T, тогда y=f(x)=f(j(t)); dx=j¢(t)dt и

.

После интегрирования последнего выражения нужно в результате перейти к старой переменной.

Этот метод применяется, когда подынтегральная функция является сложной функцией.

Пример. Найти интеграл: .

Решение.

1. Замена переменной: х=t/4, тогда dx=dt/4.

Подставив х и dx в исходный интеграл, получим:

= .

2. Подстановка: 4х = t, тогда dx = dt/4. Получим тот же ответ.

3. Метод интегрирования « по частям» .

Пусть в промежутке Х заданы две непрерывно дифференцируемые функции u(x) и v(x) .

Запишем выражение для дифференциала их произведения:

.

Проинтегрируем левую и правую части полученного выражения:

,

отсюда следует формула интегрирования по частям:

.

Метод интегрирования по частям применяют для целого класса интегралов, например, когда подынтегральная функция содержит:

1. какую-либо функцию, которой нет в таблице простейших интегралов:

,

или ее произведение на многочлен P(x):

, .

В этом случае за u принимают, соответственно, , и т. д., а за dv – выражение P(x)dx., так что одна из первообразных v легко может быть определена: _,

(здесь при интегрировании произвольную постоянную следует опустить);

2) произведение многочлена на тригонометрическую функцию или на экспоненту: .

В этом случае за u следует принять P(x), а за dv – остальную часть подынтегрального выражения: e^x dx, sin xdx, и т.д.

Операцию интегрирования по частям можно применять многократно, что иногда позволяет решить задачу.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

Положим ln x = u, dx = dv (здесь P(x)=1 ).

Тогда du = d(ln x) = , v = = x – одна из первообразных.

Используя формулу интегрирования по частям ,

получаем:

= xln x – =x ln x – = x ln x – x + C = x (ln x – 1)+ C.

Пример 2.

Найти интеграл .

Решение.

Пусть x=u (P(x)=x), =dv du= , v= .

Используя формулу интегрирования по частям, получаем:

= x sin x – = x sin x + cos x + C.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

Положим x=u, e^x dx=dv.

Тогда du = dx, v=e^x.

По формуле интегрирования по частям получаем:

=xe^x – =xe^x – e^x = e^x (x – 1)+С.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

Положим x²=u, e^хdx=dv.

Тогда du =2xdx, v=e^x.

По формуле интегрирования по частям получаем:

=x²∙e^x –2 .

Применим еще раз интегрирование по частям (см. пример 3):

x ²e^x –2 = x²e^x – 2( xe^x– e^x)+ C =

= e^x(х²–2x+2)+C.