Лекция 13

3.3 Определенный интеграл и его свойства Понятие определенного интеграла

Пусть непрерывная неотрицательная функция f(x) определена на промежутке [a,b].

Разделим этот промежуток произвольным образом точками деления x_i (i=0, 1, 2 ..., n) так, что x₀ = a<x₁ <x₂< ...< x_n = b (рис. 3.1).

Наибольшую из разностей Dx_i=x_i–x_i-1 обозначим через l и назовем диаметром разбиения.

Выберем на каждом частичном промежутке [x_i-1, x_i] произвольно точку с_i, вычислим значение функции в этой точке f(c_i) и величину DS_i =f(c_i )Dx_i.

Определение. Выражения вида

называются интегральными суммами.

Оказывается, для непрерывных функций существует число S , к которому стремятся все интегральные суммы при l 0 (или n ® ¥), как бы ни выбирать при этом с_i. Это число равно площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) и прямыми y = 0 ; x = a ; x = b . Факт существования числа S, к которому стабилизируется интегральная сумма, есть величайшее открытие.

Определение. Предел интегральной суммы при условии, что диаметр разбиения l стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(x) в промежутке [a,b] (или в пределах от a до b).

.

Здесь f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, “ ”– знак определенного интеграла, a и b – “нижний” и “верхний” пределы.

Если предел интегральной суммы существует, то функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].

если a = b, то

= ,

если a > b, то

.

Основные свойства определенного интеграла

1. Если f(x) интегрируема в промежутке [а,b], то и Af(x) (где А=const) также интегрируема в [а,b], и справедливо равенство

.

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а,b], то и функция f(x)± g(x) также интегрируема в этом промежутке, причем,

.

3. Если функция f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков [a,b], [a,c] и [c,b], то она интегрируема и в двух других, и имеет место равенство

,

каково бы ни было расположение точек a, b, с.

4. Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке , и всегда , то и

.

5. Если функция f(x) интегрируема в промежутке , где a<b, и если во всем промежутке имеет место неравенство

(здесь m и М – наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке ), то

.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть задана функция f(x), непрерывная на отрезке [ a, b ].

Тогда она интегрируема на любом отрезке [ a, x ], где xÎ [ a, b] .

Очевидно, что определенный интеграл в пределах от a до x является функцией от переменной x.

Эта функция Ф(x) называется определенным интегралом с переменным верхним пределом:

Ф(x) = , zÎ [ a, b],

здесь переменная интегрирования обозначена буквой z, чтобы отличить ее от обозначения верхнего предела.

Очевидно, что изменение обозначения переменной интегрирования не отражается на величине определенного интеграла.

Функция Ф(x) обладает следующими свойствами:

1. Если f(x) интегрируема в промежутке [a,b], то Ф(x) будет непрерывной функцией в этом промежутке.

2. Если функция f(x) непрерывна в точке z = x, то производная функции Ф(x) в этой точке существует и равна f(x):

Ф¢ (x)= , xÎ [ a, b] .

Таким образом, для непрерывной в промежутке [a,b] функции f(x) функция Ф(x) оказывается ее первообразной.