Лабораторная работа № 4 приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Цель – применить методы линейного программирования для решения матричных игр.

Модель бизнес-ситуации. Постановка задачи

Игра m × n в общем случае не имеет геометрической интерпретации. При больших m > 2 и n > 2 решение матричной игры можно свести к решению ЗЛП.

Модель конфликтной ситуации «Борьба за рынки». Две фирмы А и В производят один и тот же сезонный товар, который поступает на рынок в моменты времени i (i = 1, 2, ..., n) и j (j = 1, 2, ..., n). Цель обоих фирм: разорить конкурирующую фирму и стать монополистом на рынке, пойдя на некоторые убытки.

Товар обладает следующим свойством. Чем дольше он находится в производстве, тем выше его качество. Способ борьбы один: поставлять товар более высокого качества, но при этом успеть раньше, чем конкурирующая фирма. Фирма, поставившая товар раньше, получает гарантированную прибыль, равную V, а опоздавшая фирма получает убыток, равный -V.

Стороны А и В имеют противоположные интересы. Конфликт антагонистический.

Фирма А обладает набором стратегий S_а = {А₁, А₂, ..., А_n} поставки товара в момент времени i, а фирма В набором S_В = {В₁, В₂, ..., В_n} поставки товара в момент времени j.

Возможны три варианта сравнения моментов поставки товара: i < j, i = j,  i > j.

Рассмотрим задачу при n = 4.

Фирма А обладает набором стратегий S_а = {А₁, А₂, А₃, А₄} поставки товара в момент времени i, а фирма В набором S_В = {В₁, В₂, В₃, В₄} поставки товара в момент времени j. При условии трех возможных вариантов сравнения моментов поставки товара i < j, i = j,  i > j элементы платежной матрицы a_ij (i, j = 1, 2, 3, 4) могут быть вычислены по формуле:

(4.1)

В таблице 4.1 представлены полученные по формуле (4.1) платежи для данной модели.

Таблица 4.1 – Таблица платежей для модели конфликтной ситуации «Борьба за рынки»

Ai\Bj	B1	B2	B3	B4
A1	a11=2c	a12=c	a13=2c	a14=3c
A2	a21=3c	a22=2c	a23=c	a24=2c
A3	a31=2c	a32=2c	a33=2c	a34=c
A4	a41=c	a42=c	a43=c	a44=2c

Ставятся задачи:

1. Сформулировать двойственную задачу линейного программирования:

Задача А.

Для фирмы А минимизировать функцию

Таким образом, надо найти Z и x_1, x_2, x_3, x₄ .

Тогда решение экономической задачи сводится к нахождению

и p₁ = ν ∙ x_1, p₂ = ν ∙  x_2, p₃ = ν ∙ x_3, p₄ = ν ∙  x₄ .

Задача Б.

Для фирмы В максимизировать функцию

Таким образом, надо найти L и y_1, y_2, y_3, y₄ .

Тогда решение экономической задачи сводится к нахождению

и q₁ = ν ∙ y_1, q₂ = ν ∙  y_2, q₃ = ν ∙ y_3, q₄ = ν ∙  y₄ .

2. В электронной таблице MS Excel реализовать ввод данных и элементы платежной матрицы согласно вариантам.

3. Определить оптимальные стратегии поведения фирм А и В, их гарантированную среднюю прибыль (убыток), используя приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

4. Сделать выводы о том, какое количество товара (в % по отношению к общему количеству выпускаемого фирмами товара) и в какие моменты времени необходимо фирмам выпустить на рынок.

Порядок выполнения задания

1. На рабочем листе с именем «Базовый» организовать таблицу, подобную таблице 4.1. Заполнить элементы таблицы по формуле, приведенной для каждого варианта.

Пример оформления рабочего листа при n = 4, с = 1 показан на рис. 4.1.

2. Определить верхнюю α и нижнюю β цены игры и убедиться, что полученная матричная игра без седловой точки.

3. Для определения смешанной оптимальной стратегии S^*_B=(q₁, q₂, …, q_n) фирмы В построить соответствующую задачу линейного программирования и решить ее, используя надстройку Поиск решения. Обеспечить отчет поиска решения с помощью опции Сделать отчет по результатам.

Рис 4.1. Рабочий лист для вычисления таблицы платежей и решения матричной игры путем сведения ее к задаче линейного программирования

4. Для определения смешанной оптимальной стратегии S^*_A={p₁, p₂, …, p_n) фирмы А построить соответствующую задачу линейного программирования и решить ее, используя надстройку Поиск решения. Для получения матрицы, транспонированной к исходной платежной матрице, использовать команду Специальная вставка и опцию Транспонировать. Обеспечить отчет поиска решения с помощью опции Сделать отчет по результатам.

5. Сохранить файл.

Сделать выводы о результатах анализа экономической информации.

Пример применения инструментов электронной таблицы MS EXCEL приведен на рис. 4.2 – 4.4.

Рис. 4.2. Результаты решения двойственной задачи линейного программирования

Рис. 4.3. Окна инструмента Поиск решения

Рис. 4.4. Отчеты результатов инструмента Поиск решения

Варианты значений входных параметров

Вари-ант	Формула	Значение с	Значение n
1		2	4
2		1	4
3		2	5
4		1	4
5		3	4
6		2	4
7		2	4
8		2	5
9		2	4
10		1	5
11		1	5
12		2	4
13		3	4
14		2	4
15		2	5
16		1	4
17		2	5
18		2	4
19		2	3
20		3	5
21		3	4
22		3	3
23		2	5
24		3	3
25		3	5
26		1	5
27		2	3
28		1	4
29		1	5
30		3	4