17Көлденең қимасы айнымалы құбырдың бойымен сұйықтың стационар ағысын зерттеу. Бернулли теңдеуін қорыту

Сұйықтардың немесе газдардың қозғалысы күрделі қозғалысты білдіреді. Оны сипаттау үшін, әр түрлі жеңілдететін болжаулар (модельдер) қолданылады. Қарапайым модельде сұйық (немесе газ) сығылмайтын және идеал (яғни, қозғалған қабаттардың арасында ішкі үйкеліс болмайтын) болып есептеледі. Идеал сұйықтың қозғалысы кезінде механикалық энергия ішкі энергияға айналмайды, сондықтан механикалық энергияның сақталу заңы орындалады. Осы заңның идеал және сығылмайтын стационарлы ағыны үшін салдары болып Бернулли теңдеуі (1738 ж) табылады. Стационарлық ағын деп құйындар пайда болмайтын сұйықтардың ағынын айтады. Стационар ағында сұйық бөлшектері ток сызықтары деп аталатын өзгермейтін уақыт траекториялары арқылы қозғалады. Тәжірибе көрсеткендей, стационар ағындар сұйықтың аз жылдамдықпен қозғалуы кезінде ғана болады. Көлдеңен қимасы өзгеріп тұратын түтік арқылы идеал сығылмайтын сұйықтың қозғалуын қарастырайық .Түтіктің әр түрлі бөліктері әр түрлі биіктікте орналасуы мүмкін).

Δt  уақыт аралығы ішінде қимасы S₁ болатын түтік арқылы сұйық l₁ = υ₁Δt шамасына, ал қимасы S₂ түтік арқылы l₂ = υ₂Δt шамасына орын ауыстырсын. Мұндағы υ₁ и υ₂  - түтіктердегі сұйық бөлшектерінің жылдамдықтары. Сығылмаудың шарты

ΔV = l₁S₁ = l₂S₂ немесе υ₁S₁ = υ₁S₁

түрінде жазылады.

Мұндағы ΔV – S₁ жәнеS₂ қималары арқылы аққан сұйықтың көлемі. Сонымен, қимасы үлкен түтік бөлігінен қимасы кіші түтік бөлігіне өткен кезде, сұйықтық қозғалу жылдамдығы өседі, яғни сұйық үдеумен қозғалады. Соның салдарынан, сұйыққа күш әсер етеді. Горизонталь түтікте бұл күш тек кең және тар түтік бөліктеріндегі қысымдардың айырымынан ғана пайда болуы мүмкін. Түтіктің кең бөлігінде қысым көбірек болады. Егер түтіктің бөліктері әр түрлі биіктікте орналасса, онда сұйықтың үдеуі ауырлық және қысым күштерінің әсерінен пайда болады. Қысым күші – бұл сұйықтың серпімді сығылу күші. Сұйықтың сығылмауы сұйықтың кез келген бөлшегінің көлемінің кішкентай өзгеруінің нәтижесінде серпімді күштердің пайда болатындығын білдіреді. Сұйық идеал деп саналатындықтан, ол түтік арқылы үйкеліссіз қозғалады. Сондықтан оның қозғалысы үшін механикалық энергияның сақталу заңын қолдануға болады. Сұйық қозғалған кезде, қысым күші

ΔA = p₁S₁l₁ – p₂S₂l₂ = p₁S₁υ₁Δt – p₂S₂υ₂Δt = (p₁ – p₂)ΔV.

жұмысын атқарады.

Қысым күшінің ΔA жұмысы кері таңбамен алынған сұйықтың серпімді деформациясының потенциалдық энергияның өзгерісіне тең болады. Бастапқы уақыт мезетінде S₁ және S₂қималарының арасындағы Δt  уақыт аралығында болған өзгерістер стационар ағында массасы Δm = ρΔV  сұйықтың қимасы S₁ бөлігінен қимасы S₂ түтік бөлігіне өтеді. Осы масса үшін механикалық энергияның сақталу заңы:

E₂ – E₁ = ΔA = (p₁ – p₂)ΔV,

түрінде жазылады, мұндағы E₁ және E₂ – Δm массасының тартылыс өрісіндегі толық механикалық энергиялар.

Бұдан:

 

шығады. Бұл – Бернулли теңдеуі. Осыдан

 қосындысы бүкіл түтіктің бойында тұрақты болатыны шығады. Дербес жағдайда, горизонталь орналасқан түтік үшін (h₁ = h₂) Бернулли теңдеуі:

түрінде жазылады. p шамасы – сұйықтағы статикалық қысым. Ол сұйықпен бірге қозғалатын манометрдің көмегімен өлшене алады. Түтіктің әр түрлі бөліктеріндегі қысым түтіктің төменгі ұштары сұйық бөлшектерінің жылдамдықтарына параллель болатындай, сұйық ағынына бүйір қабырғалары арқылы кіргізілген манометрлік түтіктер арқылы өлшенеді . Бернулли теңдеуінен келесі тұжырым шығады:

Қимасы әр түрлі горизонталь түтіктегі сұйықтың қысымы сұйықтың жылдамдығы кіші болған жерде көбірек болады, және керісінше, жылдамдық көбірек болған жерде қысым да аз болады.