3.2. Визначення форми і числових значень коефіцієнтів залежностей

Залежність визначають за два етапи: на першому вибирають вид зв'язку між параметрами залежності, а на другому знаходять числові значення коефіцієнтів цієї залежності.

Вид взаємозв'язку параметрів, що входять у залежність може бути визначений:

• вивченням фізичного змісту явища, використанням аналогії з іншими науковими теоріями, результатом чого є аналітична побудова загальної моделі, коефіцієнти якої знаходять експериментально;

• побудовою емпіричної лінії регресії при великій кількості паралельних дослідів, яка буде наближеною до теоретичної лінії регресії, тобто теоретичної залежності, та добору полінома, який найкращим чином відповідав би експериментальним даним.

Поліном, або багаточлен — функція, в якій змінні величини беруть участь лише добором у діях додавання, віднімання та множення я (враховуючи піднесення до цілого додатного степеня). Для апроксимації теоретичної залежності поліноми застосовують найчастіше. Це; зумовлено, по-перше, тим, що поліноми описують великий клас безперервних функцій, а по-друге, тим, що поліноми є найбільш простими функціями.

Для практичного застосування точність, із якою визначається теоретична залежність, залежить від умов задачі. Для характеристики точності наближення полінома до дійсної залежності введемо поняття поля допуску на функцію. Для його отримання теоретичну залежність змістимо вверх і вниз на половину величини допуску (рис.5), тоді площа між цими крайніми положеннями визначить поле допуску. Очевидно, що будь-яка крива, що лежатиме всередині цього поля, може використовуватись для опису залежності між змінними величинами із. точністю . А це означає, що для опису будь-яких залежностей можна використовувати клас структурно найбільш простих функцій, а саме поліномів або багаточленів. Будь-який багаточлен можна скласти із простих степеневих функцій у вигляді

Кожна із степеневих функцій є елементом багаточлена. Ступінь наближення полінома до теоретичної лінії регресії характеризується числом його членів, кількість яких легко підбирається шляхом послідовного доповнення вже використаних членів новими. В основу цієї методики покладена теорема відомого німецького математика Карла Вейєрштраса:

Якою б складною не була безперервна функція і яким мами не вибрали б поле допуску на неї, завжди знайдеться багаточлен, що не відрізнятиметься за заданою точністю від заданої функції.

Очевидно, що чим вища точність опису теоретичної залежності потрібна, тим більш високий ступінь полінома використовується для її опису. Тому в практиці спочатку використовують лінійний поліном, тобто лінійну модель залежності. Якщо ж перевірка адекватності моделі показує, що вона не відповідає експериментальним даним, то модель добудовують до квадратичної, потім, якщо необхідно, — до кубічної, і так далі аж до отримання позитивного результату перевірки на адекватність. Ця процедура називається ідентифікацією моделі.

Визначення числових значень коефіцієнтів. Крива, що описує залежність відомої форми, повинна найкращим чином відповідати експериментальним точкам, тобто бути найбільш близькою до них. Близькість точки до кривої визначається ординатою її відстані від неї. Оскільки відхилення може бути додатним або від'ємним, то для оцінки наближеності експериментальних точок до кривої використовується квадрат цієї відстані. Ця умова покладена в основу наукового методу пошуку коефіцієнтів залежності, названого методом найменших квадратів, і має такий вигляд:

де — різниця між експериментальним;; та розрахунковим значеннями показника; — кількість експериментальних точок. Розглянемо найпростішу — лінійну залежність такого вигляду:

де та — невідомі коефіцієнти залежності, значення яких знаходять за даними дослідів

Рис.6. Метод найменших квадратів

Нехай результатами дослідів буде експериментальних точок із координатами Тоді для кожної експериментальної точки різниця між експериментальним та розрахунковим значенням показника визначиться як (рис.6):

Виходячи із основної умови методу найменших квадратів, отримаємо рівняння найменших квадратів у вигляді

Невідомими величинами в рівнянні найменших квадратів будуть коефіцієнти Умови мінімізації цієї функції такі:

Тоді

Розв'язавши цю систему із двох рівнянь, що мають два невідомі та отримаємо лінійну залежність, яка відповідає експериментальним точкам.

Приклад. При аналізі залежності між відхиленням від круглості заготовок та відхиленням від круглості оброблених на токарному верстаті деталей отримано такі дані:

x, мкм МКМ	42	35	75	90	137	115
у, мкм	10	8	24	35	50	40

Аналіз дослідних даних показує, що в першому наближенні можна використати лінійну залежність

Знайдемо її коефіцієнти та методом найменших квадратів. Результати обчислень зведемо в табл. 4.

Підставивши отримані в табл. 4 дані в систему рівнянь, запишемо

Таблиця 4