3.4. Методика проведення кореляційного аналізу

Коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення не залежать від вибору початку відліку і від одиниці виміру змінних величин. У практиці це дає змогу зменшувати або збільшувати змінні та в декілька разів, здійснюючи заміну змінних, а також додавати чи віднімати від них одне й те ж число, переносячи початок системи координат у будь-яку точку кореляційного поля. При цих маніпуляціях коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення не зміняться.

Рис. 8. Кореляційне поле

Ці властивості коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення враховує методика визначення щільності зв'язку двох змінних. При значній кількості спостережень для впорядкування результатів значення та розбивають на інтервали, тоді кореляційне поле міститиме певну кількість клітин, у кожну з яких потрапляє деяка кількість експериментальних точок (рис. 8).

Якщо матеріал спостережень розмістити на клітинах, отриманих на інтервалах по та інтервалах по , то математичні вирази для визначення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення матимуть вигляд, зручніший для практичних розрахунків. Позначимо через частоту появи точки з координатами а через — частоти появи значень та в дослідах. Тоді для визначення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення отримаємо залежності:

де та —середини відповідних інтервалів по осях , причому а ; — середнє арифметичне значення в -му інтервалі по осі , яке обчислюється як

Матеріал групують по інтервалах значень величин та , потім складають кореляційну таблицю, в якій також здійснюють розрахунок частот. При її складанні для спрощення розрахунків замінюють натуральні змінні кодованими за виразами (метод умовного нуля):

де - середини значень інтервалів, яким відповідають максимальні частоти , ; — ширина інтервалів значень .

При заміні натуральних змінних , їхніми кодованими значеннями математичні вирази для визначення щільності зв'язку практично не змінюються, набуваючи такого вигляду:

За результатами обчислень значень та знаходять щільність зв'язку між змінними та (табл. 5).

Таблиця 5 – Характеристики щільності зв'язку

Значення	Значення	Характеристика щільності зв’язку
0	0	Відсутній
	-	Лінійний функціональний
0		Нелінійний функціональний
0	<	Нелінійний кореляційний
		Точний лінійний кореляційний
>0	<	Лінійний кореляційний

Приклад. На налагоджений на певний діаметральний розмір токарний автомат надходять заготовки із коливанням величини припуску на обробку. Була сформульована гіпотеза про вплив припуску на величину відхилення діаметрального розміру обробленої деталі — валика. Для її перевірки відібрано деталей після чистового точіння, для яких попередньо вимірювали величину припуску на обробку, а після обробки — діаметр. Дані наведені в табл. 6, де — величина припуску на обробку; — величина відхилення від налагодженого розміру.

Таблиця 6--Результати вимірювання деталей

X, мкм	150	143	185	122	135	155	175	190	105	130	188	132
Y, мкм	28	15	26	17	12	20	30	28	4	20	35	6
X, мкм	170	110	188	125	108	145	150	135	155	165	115	110
Y, мкм	35	10	38	12	22	20	18	10	ЗО	28	5	20

Рис. 9. Кореляційне поле до прикладу.

Оскільки вид зв'язку між змінними та невідомий, то необхідно обчислити за даними цієї вибірки емпіричні значення коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення. За результатами вимірювань деталей до і після обробки побудуємо кореляційне поле (рис. 9). На осі абсцис відкладемо значення припуску на обробку , а на осі ординат — відхилення діаметра валика від налагодженого діаметра Ширина інтервалів зміни цих величин За результатами експериментальних даних будується кореляційна таблиця (табл. 7), яка доповнюється рядками обчислень статистичних характеристик. Для спрощення цих обчислень здійснимо заміну змінних з переносом системи координат (рис. 9):

Табл. 7 має 8 рядків, у яких наведені всі розрахунки, потрібні для визначення щільності зв'язку. Зазначимо, що значення в 4-му рядку отримані таким чином:

Значення в 6-му рядку отримані діленням даних 4-го рядка на дані 1 -го рядка.

Таблиця 7--Кореляційна таблиця для визначення щільності зв'язку величини припуску з похибкою обробленого розміру

Інтервали	Середини Інтервалів		Інтервали , мкм
			100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
			Середини інтервалів
			110	130	150	170	190
			Кодовані значення
			-2	-1	0	1	2
0-8	4	-2	2	1				3	-6	12
8-16	12	-1	1	3	1			5	-5	5
16-24	20	0	2	2	3	1		8	0	0
24-32	28	1			1	3	2	5	6	6
32-40	36	2				1	2	3	6	12
Сума по стовпчиках								25	1	35
1.			5	6	5	5	4	25	Сума по рядках
2.			-10	-6	0	5	8	-3
3.			20	6	0	5	16	47
4.			-5	-5	0	5	6	1
5.			10	5	0	5	12	32
6.			-1	-0,83	0	1	1,5	0,67
7.			1	0,7	0	1	2,25	4,95
8.			5	4,2	0	5	9	23,2

За даними таблиці запишемо:

Коефіцієнт кореляції та кореляційне відношення визначаться таким чином:

Як бачимо, зв'язок між змінними і є достатньо тісним і можна стверджувати, що зі збільшенням коливання величини припуску пропорційно зростає похибка оброблюваного розміру. В цьому випадку можна вважати, що між змінними та існує лінійний кореляційний зв'язок. Тоді коефіцієнт кореляції може бути визначений за більш простим виразом, а саме: