Статистичний розподіл за даними прикладу

	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	1	2	3	3	4	6	3	3	3	1	1

Перевіряємо, що . Тепер за даними табл. 10.2 побудуємо полігон (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Полігон частот за даними прикладу

Випадкову величину також можна задати за допомогою емпіричної функції розподілу , яка визначається як частіть того, що значення варіанти буде меншим за певне :

, . (10.1)

Якщо позначити кількість через кількість значень випадкової величини, що є меншими за , то емпіричну функцію розподілу можна визначити наступним чином:

. (10.1^І)

Зверніть увагу, що емпірична функція розподілу позначається тією ж самою літерою, що і відповідні їй функція в теорії ймовірностей, однак має позначку , що означає, що дана характеристика є результатом вимірювання.

Емпіричну функцію розподілу ще називають функцією накопичених частостей, а графік цієї функції – кумулятою.

Приклад. За даними таблиці 10.2 побудувати емпіричну функцію розподілу і накреслимо її графік.

Розв’язання. Оскільки випадкова величина, що досліджується, є дискретною, то емпірична функція розподілу має розрив у точках, які відповідають значенням варіант.

Якщо , то . оскільки нема значень, які були б меншими за .

При маємо , отже, .

Якщо , то , отже, .

Якщо , то , отже, .

Зрозуміло, що при визначенні емпіричної функції розподілу ми послідовно додаємо значення частот за другим рядком табл. 10.2 і обчислюємо частість.

Нарешті при матимемо, що , тобто .

Побудуємо за цими даними кумуляту (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Кумулята за даними приклада

Розглянемо властивості емпіричної функції розподілу.

1. Емпірична функція розподілу є не спадною функцією свого аргументу, тобто , якщо .

2. Значення емпіричної функції розподілу належать одиничному проміжку: .

За даними статистичного розподілу визначають основні числові характеристики випадкової величини. До них належать вибіркова середня та середнє квадратичне відхилення.

Вибіркова середня визначає центр вибіркової сукупності. За варіаційним рядом вона обчислюється як середнє виважене варіант, кожна з яких береться з вагою, що відповідає її відносній частоті:

. (10.2)

Дисперсія вибірки за варіаційним рядом визначається як середнє виважене квадратів відхилення значень випадкової величини від вибіркової середньої з вагою, яка відповідає відносній частоті даної варіанти:

(10.3)

або за іншою формулою:

. (10.3^І)

Середнє квадратичне відхилення вибірки визначається як корінь квадратний із вибіркової дисперсії:

. (10.4)

Воно характеризує розпорошення випадкової величини навколо центра сукупності. На відміну від дисперсії його вимірність співпадає з вимірністю випадкової величини.

Поряд з основними є кілька допоміжних числових характеристик статистичного розподілу. До них належить мода, тобто варіанта, якій відповідає найбільша частота (частість). Вона позначається . Також до них належить медіана , тобто варіанта, що за кількістю варіант поділяє навпіл статистичний ряд розподілу. Як і вибіркова середня, медіана є характеристикою центральних тенденцій вибірки. Також до додаткових числових характеристик належить коефіцієнт варіації:

. (10.5)

Поряд з цими додатковими характеристиками також розглядаються начальні та центральні емпіричні моменти, які мають те ж саме означення, що і в теорії ймовірностей.