Умножение в двоичной системе счисления

Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль. 

Пример. 10101 * 10 = 101010 

Проверка. 

10101 = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ +1*2⁰ = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² +1*2¹ +0*2⁰ = 32 + 8 + 2 = 42

21 * 2 = 42 

Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком): 

1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений: 

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так: 

		1	0	1	1
	*		1	0	1
		1	0	1	1
	0	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1	1	1

Примечание: Кстати таблица умножения в двоичной системе состоит только из одного пункта 1 * 1 = 1 

Проверка: 

101 = 5 (десятичное) 1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное)  5*11 = 55 верное равенство

Решите самостоятельно: 

Варианты 1,7,9,14 1101 * 1110 = _________________

Варианты 3,11,16 1010 * 110 = __________________

Варианты 2,10,15 1011 * 11 = _______________

Варианты 4,6,12 101011 * 1101 = _______________

Варианты 5,8,13 10010 * 1001 =  __________________

Деление в двоичной системе счисления

Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.

2	3	4	7

Мы выделяем справа (от старшего разряда) такое количество цифр, чтобы получившееся число было как можно меньше и в то же время больше делителя. 2 - меньше делителя, следовательно, необходимое нам число 23. Затем делим полученное число на делитель с остатком. Получаем следующий результат: 

	2	3	4	7
-	2	1		3
		2	4

Описанную операцию повторяем до тех пор, пока полученный остаток не окажется меньше делителя. Когда это случится, число полученное под чертой, это частное, а последний остаток - это остаток операции. Так вот операция деления двоичного числа выполняется точно также. Попробуем

Пример: 10010111 / 101

1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	1

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1.

	1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	1
-		1	0	1					1
		1	0	0

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число: 

	1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	1
-		1	0	1					1
		1	0	0	0
	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1
-		1	0	1					1	1
		1	0	0	0
	-		1	0	1
				1	1	0

 1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру). 

Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1
-		1	0	1					1	1	1
		1	0	0	0
	-		1	0	1
				1	1	0
			-	1	0	1
						1	1

 Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так: 

	1	0	0	1	0	0	1	1		1	0	1
-		1	0	1						1	1	1	0
		1	0	0	0
	-		1	0	1
				1	1	0
			-	1	0	1
						1	1	1

 Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина: 

	1	0	0	1	0	0	1	1		1	0	1
-		1	0	1						1	1	1	0	1
		1	0	0	0
	-		1	0	1
				1	1	0
			-	1	0	1
						1	1	1
					-	1	0	1
							1	0

 Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное. 

Проверим в десятичных числах 

10010011 = 147 101 = 5

10 = 2 11101 = 29

	1	4	7	5
-	1	0		2	9
		4	7
	-	4	5
			2

На этом мы заканчиваем описание простейших арифметических операций, которые необходимо знать, для того, чтобы пользоваться двоичной арифметикой, и теперь попробуем ответить на вопрос "Зачем нужна двоичная арифметика". Конечно, выше уже было показано, что запись числа в двоичной системе существенно упрощает арифметические операции, но в то же время сама запись становится значительно длиннее, что уменьшает ценность полученного упрощения, поэтому необходимо поискать такие задачи, решение которых существенно проще в двоичных числах.

1. Выполните сложение, вычитание, умножение в двоичной системе счисления:

Вариант 1. 1111 и 1011;
Вариант 2.1001 и 110;
Вариант 3.11001 и 10111;
Вариант 4.111 и 101;
Вариант 5.10011 и 1101;
Вариант 6.10011 и 1001;
Вариант 7.110110 и 11111;
Вариант 8.10011001 и 1101;
Вариант 9.10101 и 1101;
Вариант 10. 10111и 111;
Вариант 11.11001и 111;
Вариант 12.10111 и 111100;
Вариант 13.11000 и 1101;
Вариант 14.1011и 111.
Вариант 15.1100100 и 100011;
Вариант 16.101101 и 1101;

Ответ: __________________

2. Выполните деление в двоичной системе счисления:

Вариант 1. 10100101: 1011=

Вариант 2. 10100101:1111=

Вариант 3 110110:110=

Вариант 4 110110:1001=

Вариант 5 1000111111:11001=

Вариант 6 1000111111:10111=

Вариант 7 11110111:10011=

Вариант 8 11110111:1101=

Вариант 9 10101011: 10011=

Вариант 10 10101011: 1001=

Вариант 11 10100001:111=

Вариант 12 10100001:10111=

Вариант 13 10101111:111=

Вариант 14 10101111:11001=

Вариант 15 1001101:1011=

Вариант 16 1001101:111=

Ответ: __________________

18