4. Примеры решения типовых задач
Задание № 1. Случайная функция X(t) задана совокупностью 10 реализаций. Найти ее характеристики mx(t), Kx(t,t’), Dx(t) и их осредненные по времени оценки. Составить корреляционную матрицу. Построить графики реализаций, математического ожидания, дисперсии и функции ρx(t).
ВАРИАНТ n.
t |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
1 |
200 |
185 |
170 |
155 |
140 |
125 |
110 |
95 |
80 |
65 |
50 |
2 |
200 |
177,5 |
155 |
132,5 |
110 |
87,5 |
65 |
42,5 |
20 |
-2,5 |
-25 |
3 |
200 |
181,25 |
162,5 |
143,75 |
125 |
106,25 |
87,5 |
68,75 |
50 |
31,25 |
12,5 |
4 |
200 |
179,375 |
158,75 |
138,125 |
117,5 |
96,875 |
76,25 |
55,625 |
35 |
14,375 |
-6,25 |
5 |
200 |
180,3125 |
160,625 |
140,9375 |
121,25 |
101,5625 |
81,875 |
62,1875 |
42,5 |
22,8125 |
3,125 |
6 |
200 |
179,8438 |
159,6875 |
139,5313 |
119,375 |
99,21875 |
79,0625 |
58,90625 |
38,75 |
18,59375 |
-1,5625 |
7 |
200 |
180,0781 |
160,1563 |
140,2344 |
120,3125 |
100,390625 |
80,46875 |
60,546875 |
40,625 |
20,703125 |
0,78125 |
8 |
200 |
179,9609 |
159,9219 |
139,8828 |
119,8438 |
99,8046875 |
79,765625 |
59,7265625 |
39,6875 |
19,6484375 |
-0,390625 |
9 |
200 |
180,0195 |
160,0391 |
140,0586 |
120,0781 |
100,0976563 |
80,1171875 |
60,13671875 |
40,15625 |
20,17578125 |
0,1953125 |
10 |
200 |
179,9902 |
159,9805 |
139,9707 |
119,9609 |
99,95117188 |
79,94140625 |
59,93164063 |
39,921875 |
19,91210938 |
-0,09765625 |
mx |
200 |
180,333 |
160,666 |
140,999 |
121,332 |
101,6650391 |
81,99804688 |
62,33105469 |
42,6640625 |
22,99707031 |
3,330078125 |
Случайная функция X(t) сводится к системе 11 случайных величин, отвечающих сечениям t = 0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100 сек. Графики реализаций приведены на рис. 1.
Суммируя
значения по столбцам и деля сумму на
число реализаций n
= 10, найдем приближенно зависимость
математического ожидания от времени
по формуле:
,
и результаты занесем в последнюю строку
таблицы, по которой затем строим график,
приведенный на рис. 2.
Рис. 1
Рис. 2
Для
вычисления корреляционного момента,
отвечающего двум заданным сечениям,
перемножаются числа, стоящие в
соответствующих столбцах; произведения
складываются алгебраически; полученная
сумма делится на n
= 10; из результата вычитается произведение
соответствующих математических ожиданий;
для получения несмещенной оценки
корреляционного момента результат
множится на
.
То есть вычисляем по формуле:
Корреляционная матрица приведена в
таблице 1. По главной диагонали таблицы
стоят оценки дисперсий. Их график
приведен на рис. 3.
Таблица 1
t |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3,580484 |
7,160969 |
10,74145 |
14,32194 |
17,90242 |
21,48291 |
25,06339 |
28,64388 |
32,22436 |
35,80484 |
2 |
|
|
14,32194 |
21,48291 |
28,64388 |
35,80484 |
42,95581 |
50,12678 |
57,28775 |
64,44872 |
71,60969 |
3 |
|
|
|
32,22436 |
42,96581 |
53,70727 |
64,44872 |
75,19017 |
85,93163 |
96,67308 |
107,4145 |
4 |
|
|
|
|
57,28775 |
71,60969 |
85,93163 |
100,2536 |
114,5755 |
128,8974 |
143,2194 |
5 |
|
|
|
|
|
89,51211 |
107,4145 |
125,317 |
143,2194 |
161,1218 |
179,0242 |
6 |
|
|
|
|
|
|
128,8974 |
150,3803 |
171,8633 |
193,3462 |
214,8291 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
175,4437 |
200,5071 |
225,5705 |
250,6339 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
229,151 |
257,7949 |
286,4388 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
290,0192 |
322,2436 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
358,0484 |
Рис. 3
Получим осредненные по времени оценки математического ожидания: