2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

О пределение. Круг – это множество точек плоскости, расположенных на расстоянии не более данного от данной точки.

Площадь сектора пропорциональна углу, который содержит.

Билет №8

1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Д оказательство. Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC. как накрест лежащие. . Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

2. В ыражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть все случаи).

Проведём a и b, .

Т.к. треугольник прямоугольный,

Билет №9

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Т ак как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1. По двум катетам (из I первого признака)

2. П о катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3. По гипотенузе и острому углу

Д оказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.

Теорема доказана.

4. По гипотенузе и катету

Д оказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы C и C₁ — прямые, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁.

Так как ∠C=∠C₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина С совместится с вершиной C₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁. Поскольку СВ=С₁В₁, то вершина B совместится с вершиной В₁. Но тогда вершины А и А₁ также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник A₁B₁A₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны (∠А₂ — острый, a ∠А₁ тупой как смежный с острым углом B₁A₁C₁). Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и A_lB_lC_l , т. е. они равны.

Теорема доказана.

2. Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Т ак как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°. Поэтому длина l выражается формулой: