2. П остроение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1. Построить произвольный луч DE.

2. На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же с центром в начале построенного луча.

3. F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

4. П остроить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5. I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6. Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол. ( )

Свойство 1. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Д оказательство. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Теорема доказана.

Свойство 2. Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Свойство 4. Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник CBC₁:

Теорема доказана.

Билет №12

1. Прямоугольник: определение, свойства, признаки.

Определение. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

С войство 1. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство.

Теорема доказана.

Свойство 2. Любой прямоугольник вписывается в окружность, причём диагональ является диаметром этой окружности.

Доказательство. Сумма противолежащих углов равна 180°, а каждый угол прямой.

Теорема доказана.

Свойство 3. Площадь прямоугольника равна произведению двух прилежащих сторон.

Доказательство. Рассмотрение 3 случаев: целые, рациональные стороны и иррациональные стороны.

Теорема доказана.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. , как в параллелограмме. Значит, они равны по 90°.

Теорема доказана.

Признак 2. Если параллелограмм вписывается в окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. Противолежащие углы равны, как у параллелограмма, и в сумме дают 180°, как у вписанного четырёхугольника. Значит, все углы прямые, и это прямоугольник.

Теорема доказана.

2. Нахождение катета (a) и острых углов (∠a, ∠b) прямоугольного треугольника по данным гипотенузе (c) и другому катету (b).

Билет №13

1. Ромб: определение, свойства, признаки.

Определение. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

С войство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Доказательство. ∆ABC – равнобедренный, BO – медиана, а значит, и высота, т.е. .

Теорема доказана.

Свойство 2. Любой ромб описывается около окружности.

Доказательство. Суммы противолежащих сторон равны.

Теорема доказана.

Свойство 3. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Доказательство.

Т еорема доказана.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот четырёхугольник – ромб.

Доказательство.

Теорема доказана.

Признак 2. Если параллелограмм описывается около окружности, то этот параллелограмм – ромб.

Доказательство. Противолежащие стороны равны, как у параллелограмма, и суммы их пар дают одинаковые значения, как в описанном четырёхугольнике. Значит, все стороны равны.

Теорема доказана.