Ограниченность функции

Определение. Функция у = f(х) называется ограниченной сверху в области своего задания X, если существует такое положительное число М, что для всех выполняется неравенство

Пример. Функция у = - х² ограничена сверху, так как для всех ,то есть 0 = М.

Определение. Функция у = f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число М, что для всех х из области определения функции выполняется неравенство

Например, у = х² ограничена снизу, так как для всех .

Определение. Функция ограничена, если она ограничена и сверху, и снизу.

Например, у = sin х ограничена, так как

Монотонность функции

Определение. Функция у = f(х) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений х из этого промежутка следует, что

Определение. Функция у = f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений х из этого промежутка следует, что

Возрастающие и убывающие функции обычно называют монотонными.

Задачи

1. Заданы функции, определить являются ли они четными, нечетными, периодическими, возрастающими, убывающими.

а) у = х² +2; д) у = {+ х} - дробная часть числа х; б) е)

в) ж)

г) у = [х] - целая часть числа х; з)

Обзор некоторых элементарных функций и их графики

В данной части нас будут интересовать некоторые элементарные функции и их графики.

Мы будем акцентировать внимание на следующем:

- область определения и значения функции;

- четность, нечетность функции;

- периодичность;

- монотонность;

- ограниченность;

- точки пересечения с осями координат;

- график функции.

Линейная функция y = kx + b.

la. Рассмотрим вначале частный случай функций y = kx + b при b = 0.

Функция определена при всех

Областью значения является множество R (так как уравнение kx = c имеет решение при всех с).

Функция является нечетной, f(—x) = - kx = - f(x).

Функция не является периодической, так как k(x+T) = kx => kx + kT = kx => кТ = 0 => Т = 0.

Функция не ограничена.

Функция монотонная (при к > 0 возрастающая, k < 0 убывающая).

Е сли у = 0, то х = 0.

1 б. Рассмотрим частный случай функции y = kx + b при k = 0.

у = b.

Эта функция определена при всех

• Областью значения является одна точка b.

• Функция четная.

• Функция периодическая (периодом является любое число, основного периода нет).

• Функция ограничена.

• Ф ункция постоянная.

1 в. Функция y = kx + b.

Функция y = kx + b является суммой двух функций y = kx и у = b. Следовательно область определения R (множество действительных чисел).

• Область значения R.

• Функция общего вида при

• Функция не является периодической.

• Функция не ограничена.

• Функция монотонна (k > 0 возрастающая, k < 0 убывающая).

• Г рафик функции получается из графика функции y = kx сдвигом по оси ординат на величину b.