Обратная функция

Пусть на некотором множестве Х задана функция у = f(x) и Y - область значения данной функции.

Возьмем некоторое число . Тогда найдется такое число (возможно не единственное), что Таким образом, каждому значению поставлено в соответствие число (возможно не единственное). Если такое число - единственное, то говорят, что задана функция х = g(y).

/Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы функция у = f(x) осуществляла взаимно-однозначное соответствие между множествами Х и Y./

Графики функции у = f(х) и обратной для нее функции х = g(y) совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается на оси Оу.

Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозначить буквой х и откладывать его на оси Ох, то есть вместо х = g(y) писать у = g(x), то график функции у = g(x) отличается от графика функции у = f(х).

Легко показать, что графики функции у = f(x) и обратной к ней функции

у = g(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Заметим, что и свойства прямой, и обратной функций связаны между собой.

1. Область определения функции у = f(х) Х является областью значений функции .

2. Область значения функции у = f(x) Y является областью определения функции .

3. Если функция у =f(х) возрастает (убывает), то функция y = g(x) возрастает (убывает).

4. Если функция у = f(х) дифференцируема в точке , то функция у = g(x) дифференцируема в точке

Показательная и логарифмическая функции Показательная функция, ее свойства и график

Определение. Функция, определяемая равенством

,

где а - постоянное положительное число не равное единице.

Свойства показательной функции непосредственно вытекают из свойств степени.

1. Показательная функция определена на всей числовой оси, то есть на интервале .

2. a⁰ = 1, при любом основании.

3. При а > 1, а^x > 1 для х > 0 и а^x < 1 для х < 0.

4. При 0 < a < 1, а^x < 1 для х > 0 и а^x > 1 для х < 0.

5. Область изменения (значений) функции у = а^x является множество положительных чисел, то есть интервал (0; ).

6. Функция монотонна

6.1. Если а > 1, то а^x возрастающая.

6.2. Если 0 < а < I, то а^x убывающая.

7. Если а < b, то а^x < b^x при х > 0 и а^x < b^x при х < 0.

8. Производная функции у = а^x

Используя вышеперечисленные свойства, получаем график функции у = а^x.

Логарифмическая функция

Показательная функция монотонна на всей области определения, следовательно, она имеет обратную. Так как монотонная функция определяет взаимно - однозначное отображение.

Определение. Функция, обратная показательной функции у = а^x, называется логарифмической функцией и обозначается

у = log_ax.

Свойства логарифмической функции следуют из свойств показательной функции.

1. Областью определения является множество положительных чисел, то есть (0; ).

2. Областью значений является множество действительных чисел, то есть

(- ;+ ).

3. log_a 1 = 0 при любом a.

4. Функция log_ax монотонна.

4.1. При а > 1 функция возрастает.

4.2. При 0 < а < 1 функция убывает.

5. Если а > 1, то log_a х > О при х > 1 и log_a х < V при 0 < х < 1.

6. Если а < 1, то log_a х < 0 при х > 1 и log_a х > 0 при 0 < х <1.

7. Производная функции у = log_a х

8. График функции