25. Вывод 1 и 2 ур-ий Максвелла в интегр-ой и дифф-ой формах.

Первое положение Максвелла: при всяком изменении магн. поля возникает вихревое электромагн. поле, силовые линии которого охватывают область изменения магн. поля. ∫ _{(кругов.)} E_Bdl=∫ _{(кругов.)}E_BLdl= - dФ/dt, Ф=∫_BBdS, ∫ _{(кругов.) L}E_Bdl= - d/dt∫BdS -это ур-ие явл-ся 1-ым ур-ем Максвелла в интегральной форме. ∫ _{(кругов.) L}E_BLdl=∫_S rot_nE_BdS. Ротором явл-ся циркуляция вектора Е по контуру S. rote_(S→0)=1/S*. ∫ _{(кругов.)} E_Ldl, ∫_S (rot_nE_B+d/dt*B)dS=0 – это ур-ие справедливо для любой площадки S. rot_nE_B+dB/dt=0, rotE_B= -dB/dt – 1-ое ур-ие Максвелла в диф-ой форме. Электронное поле, вызванное переменным магн. полем явл-ся вихревым, т.е. не потенциален. Первое ур-ие Максвелла - диф. ур-ие, кот. связывает поле в данной точке простр-ва в данный момент t. Второе ур-ие Максвелла: По Максвеллу всякое изменение эл. поля должно вызвать появление вихр. магн. поля. Максвелл ввел понятие ток смещения. Рассмотрим цепь переменного тока, кот. сод-ит конденсатор. На основании цирк-ии вект. магн. инд:

∫ _{(кругов.) L}В_Ldl=μ_o∑ⁿ _i=1I_n , j_n=dI/dS_n=1/ S_n*dq/dt.

Когда ток однородный можно перейти от диф-ой формы к интегр-ой с учетом того, что появл-ся плотность σ=q/S. j_n=dσ _n/dt= σ _n. ∑ⁿ _i=1I_n =∫_S j_ndS=∫_S σ _ndS. ∫ _{(кругов.) L}В_Ldl= μ_o∫_S jdS. При рассмотр. 2 пов-ти мы ув., что ч/з эту пов-ть ток не проходит, но магн. поле сущ-ет, сл-но цирк. В будет отлична от 0. j_n=σ _n, σ _n=D_n, j_n= D_n, D=ε_oE_n, j_n= ε_oE_n, j_{n смещен.}=∂ D_n/∂t. ∫ _{(кругов.) L}В_Ldl=μ_o( ∑ⁿ _i=1I_i +∂ /∂t*∫_S DdS)- 2-ое ур-ие Максвелла в инт. форме. ∫ _{(кругов.) L}В_Ldl=∫_S rotBdS. В левую часть 2-ого ур-ия Максвелла подставим ур-ие в виде rot: ∫_S rotBdS= μ_o(∫_SjdS+∫_SdD_n/dt)dS. Данное ур-ие справедливо для всех пов-ей: rotB= μ_o(j+∂D_n/dt)- 2-ое ур-ие Максвелла в диф. форме. 2-ое ур. Макс. в диф. форме гласит, что магн. поле пораждается как движ., так и перемен. элю полем. На основе этих 2-х ур. Макс. предсказал сущ. магн. волн, распростр. в простр-ве со скоростью света.

Линейные уравнения Максвелла для электромагнитного поля.

Интегральная форма: Eldl= -∂/∂t*∫_sB_n*dS, B_Ldl= μ_o(I+∂/∂t*∫D_n*dS), D_n*dS=∑ⁿ _i=1q_i, _sB_n*dS=0. Дифференциальная форма: rotE=∂B/∂t, rotB= μ_o(j+∂D/∂t), divD=ρ, divB=0. Выведем ур-ие (3) из т. Гаусса для электростат. D_n*dS=∫_v divDdV. Если исслед-ый объем охват-ся объемом V, то divD= -( D_n*dS)/V. С др. стороны заряд охват. объемом: q=∫ρDdV, тогда ∫_v divDdV=∫_v ρdV, divD→ρ, D=εε_oЕ, B=μ_oμH, j=σE. Сист. ур-ий Максвелла позволяют рассчитать электромагн. поля по известным зарядам и токам и известным хар-ам среды, т.е. диэл. прониц., ε, μ, σ.

28. Понятие о нелинейных колебаниях

L=μμ₀n²V Если сердечник соленоида состоит из ферромагнетика, тогда магнитная проницаемость:

μ=μ(H) C=εε₀S/d ε=ε(E)

I=2U+βU²

I≈(U₁+U₂)²≈(cos²ω₁t,cos² ω₂t, ω₁ ω₂t; cos ω₂t)

cos²ω₁t 0,5(1+ cosω₁t)=αU+βU²

I≈f(ω₁, ω₂,2 ω₁, 2ω₂,( ω₁+ ω₂),( ω₂- ω₁))

Анализ последнего выражения говорит о том, что наличие нелинейного элемента в цепи вызывает кроме постоянного тока, который зависит от частот, умнож на l, появляются колебания с удвоенными частотами подаваемого сигнала и суммарными, и разностными частотами под сигналами.

Сложение гармонических колеб-ий одного направления

1). А) x= Acos(ωt+φ₀)

Б) X₁= A₁cos(ωt+φ₀₁) X₂= A₂cos(ωt+φ₀₂)

Найдем зависимость

X=X₁+X2; A=A1+A2

A²=A₁²+A₂²-2A₁A₂cos(pi-( φ₀₂+ φ₀₁))= A₁²+A₂²+2A₁A₂cos( φ₀₂-φ₀₁)

tgφ₀=(A₁y+A₂y)/(A₁x+A₂x)=( A₁sin φ₀₁+ A₂sin φ₀₂)/ ( A₁cos φ₀₁+ A₂cosφ₀₂)

A₁y= A₁sin φ₀₁; A₂y= A₂sin φ₀₂;

A₁x= A₁cos φ₀₁; A₂x= A₂cosφ₀₂

Биения.

Биение – звук или сигнал, который усиливается или ослабляется, т.е. получается сигнал одного тона или частоты, но фаза и амплитуда которого медленно меняется. Рассмотрим 2-а колеб. с разн. частотами, кот. опис-ся ур-ем: x₁=A₁cos(ωt+φ₀₁) и x₂=A₂cos(ω’t+φ₀₂). Допустим, что ω’>ω или ω’=ω+Ω. С учетом последней записи можно: x₂=A₂cos((ω+Ω)t+φ₀₂). Приведем частоту 1 к частоте колебаний 2: (ω+Ω)t+φ₀₂= ωt+ωΩ+φ₀₂= ωt+ψ(t). x₂=A₂cos(ωt+ψ(t)). A²(t)= A₁²+ A₂²+2 A₁ A₂сos(ψ(t)- φ₀₁). tg φ₀(t)= (A₁sinφ₀₁+ A₂sin ψ(t))/ (A₁cosφ₀₁+ A₂cosψ(t)). x= x₁+ x₂=А(t)cos(ωt+φ₀₁(t)). Т.к. в этом ур-ии амплитуда и нач. фаза зависят от t, это значит, что разность частот ω’- ω= Ω и еслиэто значен. частоты намного меньше ω’и ω, то график примет вид: Т.о. мы получили почти синусоидальн. колеб. с условным периодом T_o и с медленно меняющ-ся амплитудой: A²(t)=2 A₁ A₂сosΩ/2t. T=2π/с,т.о. мы получили модулированные колебания, Ω-частота модуляции. Колебания данного вида – модул. и ω – выс. часи., несущая частота, а разница м/у ω’- ω является низкой частотой – частота модуляции. Если на ухо человека действует колебания давления с частотой ω, в течение времени большего условного периода T_o, то человек услышит звук определенной частоты, хар-ся ω. Если время, за кот. человек слышит данный сигнал больше времени условного периода, то ухо услышит некий звук одной высокой частоты, но разной громкости, т.е. уловит биения.