2.3 Ухмылка волатильности

Тем не менее, в последние годы эффект улыбки волатильности на рынке ценных бумаг почти исчез. Вместо этого наблюдается эффект отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью. Эту асимметрию называют смещенной (ассиметричной) волатильностью или чаще всего ухмылкой волатильности. Как показано на графике 2.2 , ухмылка волатильности всегда нисходящая, то есть подразумеваемая волатильность почти монотонно возрастает с понижением страйка. Поэтому этот эффект еще называют отрицательной асимметрией(перекосом).

График 2.2 Ухмылка волатильности

Chance, D. (2004) ‘The Volatility Smile’.

Вообще говоря, эффект ухмылки волатильности явно показывает нам, что формула Блэка-Шоуза неправильно оценивает опционы в деньгах и опционы вне денег.

Цена опциона, рассчитанная согласно модели Блэка-Шоуза увеличивается при повышении волатильности базового актива. То есть опционы торгуемые с более высокой подразумеваемой волатильностью стоят дороже, при прочих равных условиях. Из-за отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, подразумеваемой волатильности увеличивается с уменьшением страйка, и, соответственно, цена опциона повышается при увеличении подразумеваемой волатильности. Когда уровень волатильности выше уровня предполагаемого плоской улыбкой модели Блэка-Шоуза, put опционы вне денег (и, следовательно, call опционы в деньгах, согласно паритету цен put-call опционов) стоят дороже, чем это предсказывает модель Блэка-Шоуза, и наоборот.

Кроме того, в связи с отрицательной связью между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, put опционы вне денег и call опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более высокую подразумеваемую волатильность, в то время как call опционы вне денег и put опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более низкую подразумеваемую волатильность. Как следствие, волатильность использующаяся для определения цены с низкими страйками цены опциона (т.е. put опциона глубоко вне денег, и call опицона глубоко в деньгах) значительно выше, чем используемая для определения цены опциона с высокими страйками (т.е. call опицона глубоко вне денег, и put опицона глубоко в деньгах).

4. Нарушения предположений модели Блэка-Шоуза

Модель Блэка-Шоуза явно не учитывает все важные факторы, которые влияют на цену опциона. Эта модель учитывает только цену базового актива, цену исполнения, время до экспирации опциона, и безрисковую процентную ставку. Единственный параметр из формулы Блэка-Шоуза, который не может быть напрямую наблюдаем на рынке является волатильностью цены базового актива, из-за чего мы и получаем проблемы с оценкой стоимости опционов. Улыбка (или ухмылка) волатильности имеет стохастическую природу, а не является постоянной, как это предполагается в модели Блэка-Шоуза. Подразумеваемую волатильность можно использовать как более или менее всеобъемлющим фактор, учитывающий всю ту информацию, которую другие переменные не включают в себя. Хотя точная форма и амплитуда улыбки волатильности (ухмылки) меняется изо дня в день, асимметрия сохраняется и это опровергает теорию Блэка-Шоуза, которая предполагает одинаковую подразумеваемую волатильность для опционов.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что относительные колебания цены базового актива имеет логнормальное распределенние.

Однако эмпирические данные показывают, что на фондовом рынке, центральный пик распределения доходности акций намного выше, то есть реальное распределения доходностей имеет больший куртозис (kurtosis) чем логарифмически нормальное распределение. С другой стороны, большие отрицательные доходности по акциям встречаются гораздо чаще, чем крупные положительные, так что распределение доходности акций должны быть отрицательную ассиметрию (skewness). Это явление также называется одновременной асимметрией. Игнорирование асимметрии в распределении доходностей, например отрицательной асимметрии (skewness), может привести к недооценке риска и, следовательно, к неправильному ценообразованию финансового инструмента.

Существует несколько объяснений превышения куртозиса (kurtosis) и асимметрии (skewness) доходности акций.

Первое и, возможно, самое известное объяснение это эффект кредитного плеча. Согласно гипотезе об эффекте плеча, снижение рыночной стоимости фирмы следует за плохими новостями об увеличении операционного или финансового плеча, которые тем самым увеличивают волатильность последующих доходностей. Финансовое плечо(рычаг) измеряет отношение долга компании к собственному капиталу, при том, что фирма финансируется за счет заемных средств. Он используется для измерения рисков для акционеров, вытекающих из структуры капитала фирмы. Фирмы с более высоким финансовым рычагом могут иметь более высокий риск банкротства в связи с высоким уровнем заемных средств в структуре капитала фирмы, что повышает волатильность доходности акций.

Волатильность доходности акций является возрастающей функцией финансового рычага. Операционный рычаг означает отношение между постоянными и переменными затратами. Фирмы, имеющие большее количество фиксированных затрат и меньшее переменных затрат, имеют более высокую операционную долговую нагрузку, то есть более высокий операционный рычаг. Для таких фирм очень сложно сократить расходы, при неожиданном падении уровней продаж. Таким образом, по сравнению с фирмами с низкими постоянными затратами, эти фирмы сталкиваются с относительно более высокими рисками и, соответственно, доходности акций таких фирм имеют более высокую волатильность. Волатильность фондового рынка имеет достаточно сильную взаимосвязь с операционным плечом. В целом, более высокие финансовые или операционные рычаги вызывают более высокую волатильность доходностей акций и, следовательно, более высокий риск, в результате чего появляется большая вероятность появления отрицательной доходности и тем самым возникает отрицательная ассиметрия (skewness) распределения доходностей. Тем не менее эффект финансового рычага не может полностью объяснить наблюдаемую асимметрию (skewness) в распределении доходности акций.

Теория обратной отдачи волатильности также пытается обхяснить отрицательную асимметрию (skewness) и большой куртозис (kurtosis) распределения доходностей акций. Изменения волатильности оказывает существенное влияние на доходность акций. Увеличение волатильности делает акции менее привлекательными, и, следовательно, толкает его цену вниз. Эта гипотеза утверждает, что важные новости, хорошие или плохие, повышают волатильно сть акций и, следовательно, их премии за риск, который в свою очередь увеличивает отрицательные доходности и уменьшает положительные доходности.

Предположим, что есть большой объем хороших новостей о будущих дивидендах. Большие объемы новостей, как правило увеличивают будущую ожидаемую волатильность, что в свою очередь увеличивает требуемую норму доходности на фондовом и снижает цены акций, уменьшая положительное воздействие новостей о дивидендах. Теперь рассмотрим случай с большим объемом плохих новостей о будущих дивидендах. Еще раз, цена акций падает, потому что из-за высокой волатильности повышается требуемая норма доходности акции, но сейчас эффект волатильности усиливает негативное влияние новостей о дивидендах.

Следовательно, большие отрицательные доходности акций более распространены, чем большие позитивные, и усиление отрицательной доходности может вызвать отрицательную асимметрию (skewness) распределения. Кроме того, появление значимых новостей вызывает большие движения цены акции, увеличивая асимметрию (skewness).

В отличие от предыщего случая, появление небольшого объема новостей снижает будущую ожидаемую волатильность и увеличивает цену акций. В том случае, если нет вообще новостей, рынок растет, потому что «отсутствие новостей не может не радовать». Обратная отдача волатильности предполагает, что движение цены акций должны быть связаны с будущей волатильностью.

Подводя итоги, появление больших объемов хороших или плохих новостей увеличивает волатильность акций и, следовательно, их премии за риск. В результате шанс отрицательной доходности увеличивается в то время как положительные доходности сокращаются, что приводит к распределению доходности акций с большим куртозисом (kurtosis) и отрицательной асимметрией (skewness). Тем не менее, можно поставить под сомнение достоверность гипотезы обратной отдачи волатильности, поскольку изменения волатильности на рынке в целом слишком кратковременны, чтобы влиять на распределение доходности акций.

Кроме того, отрицательная асимметрия (skewness) также может быть объяснена гипотезой случайных пузырей. Когда на фондовом рынке присутствует пузырь, акции торгуются с большими объемами и цены значительно переоценены. Следовательно, рыночные пузыри обычно сопровождаются резким падением цен, известным как крах рынка или схлопывание пузыря. Волатильность, как правило, становится выше после того, как фондовый рынок падает, чем после того, как он поднимается, что приводит к повышению риска краха рынка и, следовательно, к более отрицательным доходностям. Одним словом, распределение доходносткй акций с отрицательной асимметрией (skewness) могут генерироваться схлопыванием случайных пузырей, которые создают существенные потери на рынке.

Модель Блэка-Шоуза предполагает, что цены базового актива изменяются плавно, без прыжков, но экстремальные движения цен акций встречаются чаще, чем можно было бы ожидать при логнормальном распределении доходностей акций, которое предполагается моделью Блэка-Шоуза.

Таким образом, модель Блэка-Шоуза не понимает истинную природу движения цены акций, которые движутся дискретными скачками. Скачки котировок всегда возникают в момент прибытия новой информации, такой как попытка поглощения, вердикт о важном судебном процессе, объявление о доходах, и так далее. Наличие больших ценовых движений приводит к большему куртозису (kurtosis) распределения доходностей акций.

Предположим, что часть важных новостях появится в течении несколько дней, и цена акций, как ожидается, будет либо расти, либо падать. Таким образом, можно ожидать один скачок цен на акции. В данном случае, вероятностное распределение цены акции может состоять из смеси двух логнормальных распределений, первое из которых соответствует благоприятным новостям, второе неблагоприятным. Полученное вероятностное распределение является бимодальным. Данное распределение проиллюстрировано на графике 2.3. Сплошная линия показывает смесь логнормальных распределений для котировок акций, то есть описанное выше распределение доходностей. Пунктирная линия показывает логнормальное распределение с тем же ожидаемым средним и стандартным отклонением как и смешанное распределение. Как видно из рисунка 2.3, истинное вероятностное распределение имеет более высокий куртозис (kurtosis), чем логнормальное распределение. Большое движение цен всегда сопровождается большим количеством возможной прибыли или убытка, чем обычно, что может объяснить более высокий куртозис (kurtosis) бимодального распределения.

График 2.3. Влияние большого скачка на распределение доходностей

Hull, J. (2006) Options, Futures and Other Derivatives. 6th ed. Upper

Saddle River: Pearson/Prentice Hall. pp. 384.

Существуют различные попытки расширить теорию Блэка-Шоуза, для того чтобы учесть стохастическую природу волатильности и дискретные скачки цен акций, чтобы принять во внимание эффект улыбки волатильности. Эти так называемые расширенные модели Блэка-Шоуза всегда раскладывают общее изменение цен акций на "нормальную" и "ненормальную" компоненты. «Нормальная» компонента изменений может быть связана с изменением ставок капитализации, временным дисбалансом между спросом и предложением, или получения любой другой информации, которая вызывает незначительные изменения цен. Эти нормальные компоненты моделируются логнормальным процесса диффузии. «Ненормальные» компоненты изменений могут быть вызваны получением любой информации, которая вызывает скачки в цене акций и, как правило, моделируется процессом Пуассона. Эти модели позволяют объяснить превышение куртозиса (kurtosis) и отрицательную асимметрию (skewness) в распределении доходностей акций, которая согласуется с эмпирическими данными.

К сожалению, использование этих расширений вызывает некоторые практические трудности. С одной стороны, в этих расширенных моделях значения параметров зависят от нескольких дополнительных параметров, значение которых должны быть оценены. Существует недостаточно рыночных данных для калибровки этих моделей. С другой стороны, математическая простота Блэка-Шоуза теряется, что приводит к необходимости использования больших вычислительных мощностей.

Одной из основных особенностей модели Блэка-Шоулза является то, что она не учитывает предпочтения инвесторов к риску. Модель Блэка-Шоуза основана на риск-нейтральной оценки и предполагает, что все инвесторы одинаковые и нейтральные к риску.

Наблюдаемая обычно улыбка волатильности опциона на акции имеет отрицательный наклон и, таким образом отклоняется от плоской улыбки волатильности, что показывает то, что инвесторы платят более высокую цену за опционы с низкими страйками, потому что они имеют более высокую волатильность по сравнению с предполагаемым уровнем в модели Блэка-Шоуза. Интересно, что характер отрицательной ассиметрии(skewness) волатильности возник лишь во время краха фондового рынка в октябре 1987 года. Подразумеваемая волатильность гораздо меньше зависела от цены исполнения до октября 1987 года. Это может навести на мысль, что одной из причин ухмылки и улыбки волатильности может быть так называемый эффект боязни краха. То есть, трейдеры обеспокоены возможностью другого биржевого краха похожего на тот, что имел место в октябре 1987 года, и они оценивают опционы, как инвесторы склонные к риску. Существует некоторое эмпирическое подтверждение этого объяснения. Снижение индекса S&P 500, как правило, сопровождается увеличением наклона ухмылки волатильности. Когда индекс S&P увеличивается, ухмылка имеет тенденцию становиться менее крутой. Таким образом, трейдеры скорее склонны к риску, а не нейтральные к нему.

Ухмылку волатильности на рынке ценных бумаг частично можно объяснить возросшим давлением хеджиров. Хеджеры покупают опционы вне денег и используют их для защиты своих портфелей от возможного обвала фондового рынка. Хедж-управляемые покупки повышают цены опционов с низкими страйками и, следовательно, увеличивают их подразумеваемую волатильность.

График 2.4. Защитная стратегия с использованием put опционов

Hull J. (2006) Options, Futures and Other Derivatives. 6th ed. Upper Saddle

River: Pearson/Prentice Hall. pp. 224.

Опционы put глубоко вне денег часто рассматриваются как форма страхования от крупных обвалов на рынке. Максимальные потери, которые могут быть получены при использовании таких стратегий являются лишь стоимостью самого опциона put. При увеличении цены акции, потенциал роста является неограниченным, а прибыль уменьшается только до стоимости опциона. Защитная стратегия использования опциона put оказалось чрезвычайно популярным среди инвесторов. Страх краха привел к тому, что некоторые инвесторы стали готовы платить относительно большие деньги для защиты.

График 2.5. Подразумеваемое и логнормальное распределения

The Sardonic Smirk: The Volatility Smile and the Asymmetry of Risk.

.

Как можно увидеть из представленного выше графика 2.5 вероятностное распределение доходностей базового актива имеет более толстый хвост по сравнению с тем, что ожидается в модели Блэка-Шоуза. Это согласуется с отрицательной асимметрией(skewness) реального распределения доходностей акций. Рыночные данные, как правило, показывают, что существует гораздо большая вероятность финансовых потерь, чем можно было бы предсказать с логарифмически нормальным распределением, используемым в модели Блэка-Шоуза.

Заметим, что если подразумеваемая волатильность рассчитывалась по «правильной» модели ценообразования опционов, основанной на правильном предположении о распределении, то улыбка волатильности исчезнет и подразумеваемая волатильность станет плоской. В самом деле, чрезвычайно трудно получить "правильную" модель, из-за существования арбитражных возможностей в реальном мире, и очень трудно их включить в модели ценообразования опционов. Таким образом, идеализированное предположение относительно отсутствия арбитражных возможностей на рынках также ставит под сомнение надежность модели Блэка-Шоуза.

Одним из самых основных следствий модели Блэка-Шоуза является взаимосвязь между ценой call и put опционов, которая может быть получена следующим образом:

где и обозначают цену call и put опционов, соответственно, страйк, является безрисковой процентной ставкой, представляет собой время до экспирации опциона, и обозначает текущую цену акции.

Данное соотношения известно как паритет цены для оционов put-call. Оно означает, что значение цены европейского call опциона с определенным страйком и датой экспирации может быть вычислено при помощи стоимости европейского put оциона с тем же страйком и сроком до экспирации, и наоборот. Если уравнение не выполняется, то существуют возможности для арбитража на рынке. Численные исследования показали, что есть частые и существенные нарушения put-call паритета возникающие как и из-за завышенных так и из-за заниженных цен на call или put опционы. Поскольку реальные цены на put или call опционы отклоняются от паритетных, то существуют возможности для инвесторов для создания безрисковой арбитражной позиции, которая позволяет заработать больше, чем при безрисковой позиции. Хуже того, что, почти две трети из результатов арбитражной деятельности ведут к убытку. Таким образом, можно сказать, что предположение о невозможности арбитража нереально и ослабляет точность определения цены опциона, рассчитанной по модели Блэка-Шоуза.