3.Ценнообразование опционов

3.1 Факторы влияющие на ценообразование опциона

Рассмотрим фьючерс на индекс РТС, а также три его опциона. Фьючерс на индекс РТС, и соответствующие опционы были выбраны как одни из, наиболее ликвидных финансовых инструментов на рынке FORTS. Подробная информацию о рассматриваемых финансовых инструментах представлена в Приложении 1 таблицы П.1.1, П.1.2 и П.1.3, а также на сайте биржи РТС. Попробуем проанализировать факторы влияющий на ценообразование рассматриваемых опционов.

Для начала проанализируем безрисковую процентную ставку. Ее можно также называть казначейскими ставками в том смысле, что инвестор, который покупает казначейские векселя или облигации уверен в том, что выплата процентов по ним будут производиться, как и было обещано. В настоящее время российское правительство осуществляет выпуск государственных краткосрочных облигаций(ГКО) и облигаций федерального займа(ОФЗ). В качестве безрисковой процентной ставки мы будем использовать краткосрочные рыночные ставки по ГКО-ОФЗ по следующих причинам.

Безрисковая процентная ставка, используемая для проведения исследований должны иметь схожую доходность с казначейскими облигациями, которые наиболее близко соответствует длине анализируемого периода. Таким образом, процентная ставка для краткосрочных казначейских облигаций является наиболее подходящим для этого исследования, согласно информации представленной на сайте Банка России, средняя краткосрочная ставка ГКО-ОФЗ была равна 5.78, хотя стоит отметить, что уровень ставки также подвержен колебаниям, что является дополнительным фактором неопределенности для трейдеров. Так на графике П.2.6 мы можем увидеть динамику изменения краткосрочной ставки в течении срока действия фьючерса.

Доходность казначейских облигаций находится в прямой зависимости от срока облигации, поэтому процентные ставки по долгосрочным облигациям выше, чем по краткосрочным облигациям. Если бы мы использовали бы процентные ставки по среднесрочным или долгосрочным облигациям для расчета волатильности, то рассчитанная подразумеваемая волатильность отклонялась бы от реальной волатильности в силу завышенной безрисковой процентной ставки. Очевидно, что колебания ставки являются дополнительным фактором неопределенности, вносящим свою лепту в ценообразование опциона.

В России правительство все еще владеет большой долей акций крупнейших компаний и, следовательно, права инвесторов во многих случаях остаются проигнорированными. Так мы, например, довольно таки часто видим, что компании с большой долей участия государства не платят дивидендов. Даже если есть выплаты по дивидендам то, только очень небольшое количество этих выплат идут в пользу акционеров. Таким образом, выплаты дивидендов по акциям входящим в индекс также могут повлиять на цену опциона.

3.2 Нормальность распределения

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что доходности по базовому активу имеют логнормальное распределение, и, следовательно, логарифмические доходность базового актива имеет нормальное распределение. Напомним, что случайная величина называется логнормально распределенной, если имеет нормальное распределение.

Доходности базового актива в промежутке между временем и могут быть определены следующим образом:

где , цена базового актива в момент времени и .

Также напомним, что распределение имеет ассиметрию(skewness), когда его пик находится не в центре, а смещен в одну из сторон. Когда пик находится справа, относительно центра, распределение имеет отрицательный перекос (ассиметрию) и его хвост находится слева. Когда пик находится слева, распределение имеет положительные ассиметрию (skewness) и хвосты находится справа. Как показано на рисунке, при отрицательной асимметрии больший вес имеет левый хвост, в то время как при положительной асимметрии(skewness) больший вес имеет правый хвост. Когда нет явной ассиметрии (skewness) распределение является симметричным.

График 3.1. Ассиметрия(skewness)распределения

http://en.wikipedia.org/wiki/Skewness.

Коэффициент асимметрии(skewness) Пирсона обеспечивает числовую характеристику асимметрии(skewness), которая обозначается SK. Значение SK варьируется от -3 до+3. Распределение имеющее положительную асимметрию (skewness) имеет положительное значение SK, в то время как распределение имеющее отрицательную асимметрию (skewness) имеет отрицательное SK. Для нормального или идеально симметричного распределения, SK имеет значение 0. Значения показателя асимметрии(skewness) выходящие за диапазон -1 и 1 указывают на значительную степень асимметрии(skewness).

Под куртозисом(kurtosis) мы понимаем степень островершиности распределения вероятностей случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины куртозис(kurtosis) равен 3, независимо от его среднего (mean) или стандартного отклонения (standard deviation). Когда значение куртозиса(kurtosis) отклоняется от 3, то вероятностное распределение начинает сильно отличаться от нормального. Если куртозис(kurtosis) больше 3, то случайная величина имеет более остроконечное вероятностное распределение в центре и имеет более тяжелые хвосты, чем у нормального распределения с тем же стандартным отклонением (standard deviation), а значение показателя куртозиса(kurtosis) меньшее 3 показывает, что вероятностное распределение является более плоским в центре и имеет меньшие хвосты , чем у нормального распределения. Чем больше куртозис, тем большим по сравнению с нормальным, предполагается стандартное отклонение.

График 3 .2. Куртозис(kurtosis) распределения

http://www.riskglossary.com/link/kurtosis.htm

Статистика Жака-Бера (JB) является некоторой мерой, которая определяет степень отклонения значения асимметрии(skewness) и куртозиса(kurtosis) некоторого ряда от нормального распределения. Нулевая гипотеза Жака-Бера состоит в том, что распределение некоторого ряда является нормальным, то есть асимметрия(skewness) равна 0 и куртозис(kurtosis) равен 3. Любое отклонение от нулевой гипотезы увеличивает статистику JB.

С помощью EViews можно также узнать значение вероятности(уровень значимости), с помощью которой мы сможем понять можно ли принять нулевую гипотезу о нормальном распределении. Нулевая гипотеза должна быть отвергнута, когда значение вероятности(уровня значимости) будут низки, в то время как высокая вероятность(уровень значимости) указывает на то, что наш ряд, скорее всего, имеет нормальное распределение.

Из графика П.2.1 видно, что показатель асимметрии(skewness) равен 0.36, значит, что распределение имеет более длинный правый хвост, значение куртозиса(kurtosis) оказалось равным 4.57, откуда следует, что наше распределение более островершинное, чем нормальное распределение доходностей базового актива, т.е. фьючерсного контракта на индекс РТС. Сравнительный график П.2.2 показывает, что график полученный при помощи ядерного сглаживания достаточно похож на график нормального распределения. Кроме того, значение вероятности представленные на графике П.2.1 довольно небольшие(0.000077) , что означает, что нулевая гипотеза о нормальном распределении доходностей должна быть отвергнута. Эти результаты показывают, что предположение о нормальном распределении доходностей базового актива на нашем рынке может быть отвергнуто.