2. Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. Если рассматривается неко­торая случайная функция времени х (t), то для нее формулы, дающие переход от функ­ции времени к изображению Фурье и обратно, могут быть записаны в виде

, (2.24)

. (2.25)

Возьмем квадрат модуля изображения Фурье и проинтегрируем по всем частотам от — до + с делением результата на 2 :

. (2.26)

В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов F(jw) и F(-jω). Изображение Фурье F(jω) заменим выражением (2.24):

.

В последней формуле изменим порядок интегрирования

. (2.27)

Величина, находящаяся в квадратных скобках (2.27), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (2.25). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея, которая и соответствует энерге­тической форме интеграла Фурье:

. (2.28)

Подставляя , получим

. (2.29)

Правая часть (2.28) и (2.29) представляет собой величину, пропорцио­нальную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассмат­ривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению R, то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будет

.

Из (2.28) и (2.29) вытекает, что для нахождения энергии рассматривае­мого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от — до + или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем час­тотам от — до + . Формулы (2.28) и (2.29) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.

О днако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энер­гия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (2.28) можно представить в виде

. (2.30)

Правая часть (2.30) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины x(t). Вводя обозначение

, (2.31)

м ожно переписать формулу (2.30) в виде

, (2.32)

и ли в виде

. (2.33)

Величина S (ω) или S ( ) носит название спектральной плотности. Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от — до + дает средний квадрат исходной функции времени х (t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от до +d .

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (2.32) должна быть записана в виде

, (2.34)

где S₀ () = 2S () — спектральная плотность для положительных частот. Однако в дальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от — до + , так как при этом формулы получают более симметричный характер.

Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаим­ные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями типа (2.24) и (2.25).

Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:

, (2.35)

. (2.36)

Т ак как спектральная плотность и корреляционная функция представ­ляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (2.35) и (2.36) представляют в более простом виде:

, (2.37)

. (2.38)

Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (2.35) и (2.36) так как слева стоят вещественные функции.

Связь между спектральной плотностью S () и видом функции времени х(t) заключается в том, что чем «уже» график cпeктpaльнoй плотности (рисунок 2.14, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рисунок 2.14, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (t) и тем быстрее происходят изменения х во времени.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом (рисунок 2.12). Отсюда вытекает, что более «широкому» графику спектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционной функции и на­оборот.

Рисунок 2.14