4. Постановка задачи статистической идентификации

Рассмотрим одномерный динамический объект в условиях нормального функционирования. Функция x(t), описывающая воздействие на объект, и функция y(t), описывающая реакцию объекта на это воздействие, определены на некотором множе­стве моментов времени 7, определяемом характером экспери­мента. В общем случае x(t) и у (t) являются реализациями случайных процессов на входе и выходе объекта. Будем назы­вать функции x(t) и у (t) входным и выходным сигналами объ­екта. Тогда задачу статистической идентификации можно сфор­мулировать следующим образом.

В процессе нормального функционирования одномерного объекта синхронно (непрерывно или дискретно) измеряются входной x(t) и выходной у (t) сигналы. По результатам изме­рения x(t) и у (t) необходимо определить хотя бы приближен­ное значение оператора, ставящего в однозначное соответствие выходной и входной сигналы, т. е. получить математическую модель объекта.

Если моделью объекта (системы) является зависящий от времени оператор A(t), такой, что

у (t) = А (t)x (t),

то задачей статистической идентификации будет определение оценки этого оператора A₀(t), позволяющей получать оценку

y₀(t) = A₀(t)x(t).

В другой формулировке задача статистической идентифика­ции заключается в нахождении оценки A₀(t) истинного опера­тора системы A(t) по реализациям случайных процессов x(t) и у (t).

Соответствие между моделью и оригиналом может быть до­стигнуто лишь в случае близости в некотором смысле оценки A₀(t) к истинному значению A(t). При этом будет соблюдаться требование близости y₀(t) к y(t).

Для оценки качества идентификации вводят функцию потерь p[y(t), (t)], на математическое ожидание которой на­кладывают требование

M{p[y(t), у₀(t)} = тin.

Выбором вида функции потерь определяется критерий близости выходных сигналов модели и оригинала. Наиболее часто применяют квадратичную функцию потерь, приводящую к простым линейным алгоритмам оценивания.

Получим основное уравнение статистической идентифика­ции, которому должна удовлетворять оптимальная оценка опе­ратора A₀(t). Примем следующие допущения: объект линеен, наблюдаемые случайные процессы стационарны (в широком смысле) и стационарно связаны. Сделанные допущения явля­ются обычными. Но в дальнейшем укажем условия, при кото­рых они могут быть сняты.

С учетом принятых допущений выходной сигнал объекта, функционирующего неограниченно долго, имеет вид

y(f)= , (2.58)

где — импульсная переходная функция (ИПФ) линейной системы; n(t) — случайная помеха.

Определение искомой ИПФ из уравнения (2.58) сопряжено со значитель­ными погрешностями вследствие неточности регистрируемых сигналов, обу­словленной помехами и измерительными ошибками, сложностью аппроксима­ции сигналов аналитическими выражениями.

Для повышения качества восстановления ИПФ необходима предварительная обработка сигналов. Аналитически это усло­вие означает следующее. Пусть случайные сигналы на входе и выходе объекта идентификации центрированы, тогда, умножая левую и правую части уравнения (2.58) на x(t— ) и усредняя результат, получаем

M[x(t— )y(t)]=M[ ] + M[x(t- )n(t) ],

где М — оператор математического ожидания; n(t) — приведен­ная к выходу помеха, не коррелированная с входным сигна­лом.

Учитывая коммутативность операции определения математи­ческого ожидания и интегрирования, получаем

M[x(t— )y(t)]= ]

или

R_xy( )= . (2.59)

Уравнение (2.59) представляет собой запись известного в литературе уравнения Винера—Хопфа и связывает искомую ИПФ с корреляционной функцией входного сигнала R_xx( ) и взаимной корреляционной функцией входного и выходного сигналов R_xy( ) идентифицируемого объекта.

ИПФ (определяется путем решения уравнения Ви­нера—Хопфа) оптимальна по критерию минимума среднеквадратической ошибки

M{[y(t)-y₀(t)]²}=min.

При реализации случайных сигналов R_xx( ), R_xy( ) регистрируются на конечных интервалах наблюдения Т_н, а линейная система с бесконечной памятью аппроксимируется системой с конеч­ной памятью, поэтому бесконечный верхний предел в (2.59), исходя из физических соображений, заменяют на конечный T_w, такой, что для всех >T_w . Это утверждение справед­ливо для физически реализуемых систем, у которых

при >T_w.

С учетом сказанного основное уравнение статистической идентификации принимает вид

R_xy( )= . (2.60)

При непараметрической идентификации динамических объ­ектов решение уравнения Винера—Хопфа получают в виде по­следовательности значений ИПФ. Наиболее часто применяют численные методы решения уравнения (2.60) во временной и частотной областях.