Третий закон Кеплера (гармонический закон – 1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

или (4)

где Т1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца,

а1 и а2 — длины больших полуосей их орбит.

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рисунке 4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.[2]

Рисунок 4.Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

(5)

где M и m – массы Солнца и планеты,

r – расстояние между ними,

G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

(6)

Если T2 ~ R3, то

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.[2]

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рисунок 5).

Рисунок 5.Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ΔA гравитационной силы F на малом перемещении ΔS=Δr есть:

(7)

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

(8)

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

(9)

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

(10)

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.[3]

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рисунок 6).

При E = E1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 6.Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R

При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

(11)

отсюда 7,9 ∙ м/с (12)

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.[3]

(13)

отсюда 11,2 ∙ м/с (14)

Рисунок 7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9· м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2· м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.[2]

Рисунок 7.Космические скорости.

Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1: υ = υ1 – круговая траектория; 2: υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3: υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс; 4: υ = υ2 – параболическая траектория; 5: υ > υ2 – гиперболическая траектория; 6: траектория Луны

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона, закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.