Вычисленное значение

В «Британнике» утверждается, что Г. Кавендиш получил значение G=6,754·10−11 м³/(кг·с²). Это же утверждают Е. P. Коэн, К. Кроув и Дж. Дюмонд и А. Кук.. Л. Купер в своём двухтомном учебнике физики приводит другое значение: G = 6,71·10−11м³/(кг·с²). О. П. Спиридонов — третье: G = (6,6 ± 0,04)·10−11м³/(кг·с²).

Следует отметить, что сам Кавендиш в своём эксперименте не ставил задачу определения гравитационной постоянной, о которой в его время ещё не было выработано единого представления в научном сообществе. В своей классической работе Кавендиш рассчитал значение средней плотности Земли: 5.48 плотностей воды (современное значение 5,52 г/см³ лишь на 0,7% отличается от результата Кавендиша). Средняя плотность планеты оказалась значительно больше поверхностной (~2 г/см³), из этого следовало, что в глубинах Земли сосредоточены тяжёлые вещества.

Гравитационная постоянная была введена, по-видимому, впервые только С. Д. Пуассоном в «Трактате по механике» (1811). Значение G было вычислено позже другими учеными из данных опыта Кавендиша.[3]

2 Закон сохранения импульса в изолированной системе их двух материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Между материальными точками действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Здесь - внутренняя сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й материальной точки,

- внешняя сила, действующая на i-ю материальную точку. Материальные точки системы обладают импульсом:[5]

(17)

Система материальных точек называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю: = 0. Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

,

(18)

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим:

(19)

Сумма производных равна производной от суммы, а также по третьему закону Ньютона:

(20)

В результате получим:

₍₂₁₎

Если система материальных точек замкнута, т.е. , тогда = 0, и имеет место закон сохранения импульса: .

Закон сохранения импульса системы материальных точек:

₍₂₂₎

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Если система не замкнута – импульс силы, мера действия силы за некоторый промежуток времени.[5]

Задачи по 1 разделу

1. Найти среднюю плотность планеты Меркурий, если известно, что отношение массы m Меркурия к массе М Земли равно, радиус Меркурия равен = 2,42∙ м, радиус Земли R = 6,38∙ м. Величину ускорения свободного падения на поверхности Земли принять равной

Дано: Решение:

m/М = 0,054 Величина силы притяжения между Землей и Меркурием

= 2,42∙ м F = ,

R = 6,38∙ где γ = 6,67∙10 - гравитационная постоянная,

g = 9,8 м/с r – расстояние между центрами планет.

Найти: -?

1

2. Найти силу гравитационного взаимодействия F между двумя протонами, находящимися на расстоянии r =10-16 м друг от друга. Масса протона m = 1,67 • 10-27 кг.

Дано: Решение:

r = м сила гравитационного взаимодействия выражается

m = 1,67 • кг формулой:

F = .

Найти: F-? Подставляя числовые данные, получим:

F = 6,67• (6,67• ) • (2,7889• ) =1,86 • Н

Ответ: F = 1,86 • Н

3. Искусственная планета имеет круговую орбиту. Найти величину v линейной скорости ее движения и период Т обращения вокруг солнца. Радиус Солнца R = 6,96 • м, средняя плотность Солнца p = 1,41 • кг/ . Среднее расстояние планеты от Солнца r = 1,71 • км.

Д ано: Си Решение:

R = 6,96 • м Запишем второй закон динамики

p = 1,41 • кг/ для планеты (сразу в модулях):

r = 1,71 • км 1,71• м = ,

где γ = 6,67∙10 - гравитационная

Найти: v-? T-? постоянная,

r – расстояние между центрами планет

.

4. Минимальное расстояние кометы Галлея от Солнца rmin = 0,6 а.е. (одна астрономическая единица 1 а.е.=1,5 • км – радиус земной орбиты). Зная период обращения кометы Т=76 лет, определить насколько далеко она уходит от Солнца.

Дано: Решение:

rmin = 0,6 а.е. Так как в качестве единицы времени – год, а единицы

Т=76 лет длины – расстояние от Земли до Солнца, то проще

всего параметры орбиты кометы сравнить с

Найти: rmax - ? параметрами орбиты Земли.

Из 3-го закона Кеплера найдем большую полуось орбиты кометы Галлея a:

(r0 = 1a.e., T0 = 1 год)

Теперь определяем максимальное удаление кометы от Солнца:

Ответ: rmax = 5,3 • км

5. Какое время затрачивает комета Галлея на прохождение дальней от Солнца половины своей орбиты и какое - на прохождение ближней половины? Площадь эллипса равна

(а и b – большая и малая полуоси элипса).

Решение:

На рисунке Солнце находится в точке О. При прохождении дальней половины орбиты радиус-вектор кометы «заметает» площадь верхней половины эллипса и площадь треугольника АОВ. Эти площади равны соответственно:

Воспользуемся 2-ым законом Кеплера, сформулировав его в несколько ином виде площадь, описываемая радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени. И сравним времена прохождения кометой всей орбиты и дальней ее половины:

О тсюда для искомого времени получаем:

Остальные 14,5 лет тратятся на обход ближней к Солнцу половины орбиты. Как видим эти времена отличаются больше, чем в 4 раза.

Задачи по 2 разделу

1. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нём. Найти скорость вагона, если он двигается со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.

Д ано: СИ Решение:

m₁=100 кг

V₁=500 м/c

m₂=10 т 10000кг

V₂=36 км/ч 10 м/с

V-?

Считая удар неупругим, запишем закон сохранения

импульса:

Ответ: -4,9 м/с

2.

1

Снаряд массой 50 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 600 м/с, разрывается на две части с массами 30 кг и 20 кг. Большая часть стала двигаться в прежнем направлении со скоростью 900 м/с. Определить величину и направление скорости меньшей части снаряда.

Д

V

ано: Решение:

m =50 кг

V =600 м/c

m₁=30 кг

m ₂=20 кг

V₁= 900 м/с

V₂-?

Ответ: V = 150 м/с

3. Движение материальной точки описывается уравнением: x=5∙8t+4t². Приняв его массу 2 кг, найти импульс через 2с и через 4 с после начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Д ано: Решение:

x=5∙8t+4t² x=5∙8t+4t²

m=2 кг V_o=40 м/с

t₁=2c V=V₀+a∙t

t₂=4c V(2c) = 40+8∙2=56 м/с

V(4c) = 40+8∙4=72 м/с

p₁-?

p= m∙V

p₂ -? p₁=2∙56=112 (кг∙м)/с

p₂=2 ∙72=144 (кг∙м)/с

F=∆p/∆t

F=(144-112)/(4-2)=32/2=16Н

Ответ: F=16Н, p₁ =112 (кг∙м)/с, p₂=144 (кг∙м)/с

4. На вагонетку массой 50 кг, катящуюся по горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?

Дано: Решение:

Ответ: ΔV = 1,16 м/с

5. Два пластилиновых шарика, отношение масс которых m2/m1 = 4, после соударения слиплись и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью U. Определите скорость легкого шара до соударения, если он двигался втрое быстрее тяжелого (V1=3V2), а направления движения шаров были взаимно перпендикулярны. Трением пренебречь.

Д ано: Решение:

m2/m1 = 4 Так как скорости V1 и V2 шаров взаимно перпендикулярны,

V1=3V2 то оси прямоугольной системы координат удобно направить

параллельно скоростям. Согласно закону сохранения

Н айти: V1 - ? имеем:

Ответ: V1 = 3U

Список литературы

1. Кавендиш Г. Опыты по определению плотности Земли Классики физической науки М: 1989. — С. 255—268.

2. Милюков В. К., Сагитов М. У. Гравитационная постоянная в астрономии // Знание. 1985.

3. Филонович С. Р. Физический эксперимент и его восприятие Исследования по истории физики и механики. М., 1988. C.5-36 (I)

4. Электронная библиотека /Эксперимент Кавендиша /История науки и цивилизации [Электронный ресурс]. URL:http://knowlg.com/node/128 (дата обращения 22.03.2013)

5. Электронная библиотека / Социальный навигатор/ закон сохранения импульса тела [Электронный ресурс]. URL:http://www.edu.yar.ru/projects/socnav/prep/phis001/soh/sohran16.html(дата обращения 16.04.2013)

19