27. Интегрирование тригонометрических функций. Использование тригонометрических формул
Пример 1
Найти
неопределенный интеграл.
Сначала
полное решение, потом комментарии.
Используем
формулу:
(1)
Мы видим, что в подынтегральном выражении
находится произведение двух функций.
К сожалению, в интегральном исчислении
нет удобной формулы для интегрирования
произведения:
,
поэтому приходится прибегать к различным
ухищрениям. В данном случае мы прерываем
решение значком
и
поясняем, что используется тригонометрическая
формула. Данная формула превращает
произведение в сумму.
(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
! Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:
Косинус
– это четная функция, то есть
,
минус исчезает без всяких последствий.
В рассматриваемом примере:
Синус
– функция нечетная:
–
здесь минус, наоборот – не пропадает,
а выносится.
(3)
Под интегралами у нас сложные функции
(косинусы не просто от
,
а от сложного аргумента). Это простейшие
из сложных функций, интегралы от них
удобнее найти методом подведения под
знак дифференциала. Более подробно с
данным приёмом можно ознакомиться на
уроке Метод
замены переменной в неопределенном
интеграле.
(4)
Используем табличную формулу
,
единственное отличие, вместо «икса» у
нас сложное выражение.
Готово.
Понижение степени подынтегральной функции
Данный
приём работает, когда подынтегральные
функции нафаршированы синусами и
косинусами в чётных
степенях. Для понижения степени используют
тригонометрические формулы
,
и
,
причем последняя формула чаще используется
в обратном направлении:
.
Пример 7
Найти
неопределенный интеграл.
Решение:
В
принципе, ничего нового здесь нет, за
исключением того, что мы применили
формулу
(понизив
степень подынтегральной функции).
Обратите внимание, что я сократил
решение. По мере накопления опыта
интеграл от
можно
находить устно, это экономит время и
вполне допустимо при чистовом оформлении
заданий. В данном случае целесообразно
не расписывать и правило
,
сначала устно берем интеграл от 1, затем
– от
.
Метод замены переменной
Как
уже упоминалось в статье Метод
замены переменной в неопределенном
интеграле,
основной предпосылкой для использования
метода замены является тот факт, что в
подынтегральном выражении есть некоторая
функция
и
её производная
:
(функции
,
не
обязательно находятся в произведении)
Пример 11
Найти
неопределенный интеграл.
Смотрим
в таблицу производных и замечаем формулы
,
,
то есть, в нашем подынтегральном выражении
есть функция и её производная. Однако
мы видим, что при дифференцировании
косинус и синус взаимно превращаются
друг в друга, и возникает вопрос: как
выполнить замену переменной и что же
обозначать за
–
синус или косинус?! Вопрос можно решить
методом научного тыка: если мы неправильно
выполним замену, то ничего хорошего не
получится.
Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
Прерываем
решение и проводим замену
В
знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит
только от
,
теперь осталось выяснить, во что
превратится
.
Для
этого находим дифференциал
:
Или,
если короче:
Из
полученного равенства по правилу
пропорции выражаем нужное нам выражение:
Итак:
Теперь
всё подынтегральное выражение у нас
зависит только от
и
можно продолжать решение
Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.