25). Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица(условие её существования и вычисление).

Минором Mij элемента fij матрицы n-ого порядка называется определитель матрицы(т-1)-ого порядка, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком : Aij=

Матрица называетсяя обратной по отношению к матрице А, если .

Условие существования: Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная- определитель матрицы отличен от нуля.

Алгоритм нахождения:

1)Находим определитель исходной матрицы. Определяем её вырожденность или не вырожденность.

2) Находим матрицу А’, транспонированную к А .

3) Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A’ij=Aji и составляем из них присоединённую матрицу

4) вычисляем обратную матрицу по формуле:

5). Делаем проверку исходя из определения обратной матрицы.

26). Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера и методом обратной матрицы.

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формуле xj = .

Метод обратной матрицы. Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения   слева на   Имеем  . Последнее равенство можно переписать как  , а по определению обратной матрицы   (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому

Следовательно, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле  . 

27). Правило суммы и произведения в комбинаторике. Сочетания из n элементов по m. Формулы для их вычисления.

Суммы. Если объект А можно выбрать n – способами, а объект В, можно выбрать m - способами, причём никакой способ выбора объекта А не совпадает ни с одним из способов выбора объекта В, то число способов выбрать А или В, равно m+n.

Произведения. Если объект А можно выбрать n- способами, после каждого такого способа объект В можно выбрать m- способами, то оба объекта в указанном порядке можно выбрать m*n способами.

28). Случайные события. Сумма, пересечение событий. Противоположное событие. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Вероятность произведения и суммы событий.

Классическое определение - полное множество исходов конечно и равно некоторому натуральному числу n и все исходы равновероятностные. Вероятность появление события А = отношению числа исходов благоприятных к числу всех исходов: P(A) = .

Условная вероятность. A и B - два события, где наступление одного влияет на наступление другого. Если Событие B произошло, формула будет выглядеть так : P(A\B)=P( ) . P(A\B)*P(B) = P(B\A)*P(A) .

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Пересечение событий Л и В - событие, обозначаемое А - В или АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят и Л и В вместе.

Сумма события A и B - событие A + B состоящее в том, что в опыте произойдёт хотя бы одно из этих событий. Событию A + B соответствует множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств A или B, т.е. объединение множеств A и B.

Событие A называется противоположным событию A, если оно заключается в непоявлении события A.

По́лная гру́ппа собы́тий - система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий   и   равна произведению этих вероятностей:  . 

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий   и   равна сумме вероятностей этих событий:  .