18). Смешанное произведение векторов. Свойства, вычисление, применение.

Смешанным произведением трех векторов  ,  ,   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор  :  .

Свойства:

1). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда  .

2). .

3 и 4). .

Вычисление: Если векторы  ,   и   заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле .

Применение: 1). . 2). . 3). Компланарность векторов: ,  ,   - компланарные, то .

17). Векторное произведение векторов. Свойства, вычисление, применение.

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор , определяемый следующими тремя условиями: 1). Модуль вектора  равен  , где   - угол между векторами   и  ; 2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ; 3). ,  ,  образуют правую тройку векторов.

Свойства: 1). 2. 3.  .

4). ). =0, параллелен   (если =0 и =0).

Вычисление: =(ax,ay,az), (bx,by,bz).  

Применение: 1. Площадь   параллелограмма, построенного на векторах   и  , вычисляется по формуле:

2. Площадь   треугольника   , построенного на векторах   и  :

3. если =0 и =0 и =0, то параллелен   .

16). Скалярное произведение векторов. Свойства, вычисление, применение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства: 1.  ; 2.  ; 3.  ; 4. ^{2=| |2}

5. =0, если  перпендикулярно  ,( или =0, или =0).

Вычисление: 1. . 2. (ax,ay,az); (bx,by,bz), .

3. =^{| |* пр.} .

Применение:1. Угол между векторами  и  : 2. .

3. Ортогональная проекция вектора   на ось, задаваемую вектором . .

4.  и  не равны 0, и =0, то  перпендикулярно  .

15). Геометрические векторы. Действия над векторами. Свойства операций над векторами.

Вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.

Действия над векторами:1. Сложение векторов. Пусть   и   – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор  ; затем от точки А отложим вектор  . Вектор  , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается   : .

2. Вычитание векторов. Разностью   векторов   и   называется такой вектор  , который в сумме с вектором   дает вектор  :   Û  : .

3. Умножение вектора на число. Произведением вектора   на действительное число   называется вектор   (обозначают  ), определяемый следующими условиями: 1)      , 2)       при   и   при  . Очевидно, что при    .

Свойства линейных операций:

1)      ;

2)      ;

3)      ;  ;

4)      ;

5)      ;

6)      ;

7)      ;  .

14). Дифференциальные уравнения 2-го порядка со специальной правой частью. Их общее решение.

y’’-py’+qy=f(x), где f(x)- функция, f(x) не равно 0.

Общее решение:

y=Y+y*, где Y-общее решение соответствующего однородного уравнения, а y*-частное решение исходного уравнения.

Частный случай: пусть f(x)=P_n(x), где P_n(x)-многочлен n-ой степени с действительными коэффициентами, тогда y*=Q_n(x)*x^t, где Q_n(x) – многочлен n-ой степени с действительными коэффициентами, t- кратность корня, k=0 характеристического уравнения; если k=0 не является корнем характеристического уравнения, то t=0.