2.2. Методика вивчення елементів теорії ймовірностей

Вивчення поняття події часто поєднується у учнів з труднощами психологічного характеру. Його зазвичай учні сприймають як одиничне виконання якої-небудь дії. Тому формування уявлення про дане поняття має починатися з розгляду найпростіших імовірнісних моделей [33].

Перші праці, пов'язані з теорією ймовірності належали Галілею [50]. У нашому житті часто доводиться мати справу з випадковими явищами, тобто ситуаціями, результат яких не можна точно передбачити. Наприклад, ми не можемо точно сказати при підкиданні монети впаде вона вгору гербом або цифрою [39]. Аналогічно не можемо точно сказати, скільки очок виб'є стрілок на змаганнях.

Побудова та дослідження моделей різних процесів, пов’язаних з поняттям випадковості, — сфера математичної статистики й теорії ймовірностей. До таких процесів, наприклад, належать ризики на виробництві та в банківській справі, масові захворювання серед рослин, тварин чи людей, азартні ігри.

З 9-го класу ви знаєте, що найважливішими поняттями теорії ймовірностей є: ймовірнісний експеримент (випробування, спостереження), подія (наслідок випробування) та ймовірність події.

Тоді випадковою подією буде називатися будь-яка подія, пов'язана з випадковим експериментом.

Під випробуванням в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводити при іншому наборі умов, то вважається, що це вже інше випробування.

Результати випробувань можна охарактеризувати якісно і кількісно.

Якісна характеристика полягає в реєстрації будь-якого явища, яке може спостерігатися чи ні при даному випробуванні. Будь-яке з явищ називається подією.

Ще одним елементом, що сприяє формуванню уявлення про поняття «подія», є наступна класифікація. Подія буває:

• достовірною (завжди відбувається в результаті випробування);

• неможливою (ніколи не відбувається);

•випадковою (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).

Наведемо приклади випробувань та їх окремих наслідків — деяких подій.

Таблиця 2.1.

№	Випробування	Подія
1	Падає монета	Упала догори гербом
2	Грають команди А і С	Виграла команда С
3	Людина чекає ранку	Настав ранок
4	Падає гральний кубик	Випало 0 очок

Остання подія неможлива, бо на гранях грального кубика немає нуля. Подія 3 достовірна (вірогідна), бо після ночі завжди наступає ранок. Події 1 і 2 випадкові.

Прийнято вважати, що неможлива і вірогідна події — окремі випадки випадкової події.

Події позначають великими латинськими літерами А, В, С,… або однією латинською буквою з індексом: А_1, А_2, А_3, …, А_n. Зміст події подають у фігурних дужках. Наприклад, третю подію з таблиці можна записати так:

А₃ = {настав ранок}.

Сказати наперед про випадкову подію, що вона відбудеться чи не відбудеться, неможливо. Якщо ця подія масова, тобто виконується багато разів і за однакових умов, то ймовірність її настання можна охарактеризувати деяким числом.

Це можна зробити тоді, коли наслідки випробувань становлять скінченну множину і є рівноможливими. Тобто в умовах проведеного випробування немає підстав вважати появу одного з наслідків більш чи менш можливим за інші.

Приклад 1. Кидають один раз правильний однорідний гральний кубик і фіксують суму очок на грані, що випала догори. Результатом такого випробування можуть бути 6 різних подій:

Е₁ = {випадкове одне очко};

Е₂ = {випадкове два очка};

Е₃ = {випадкове три очка};

Е₄ = {випадкове чотири очка};

Е₅ = {випадкове п’ять очок};

Е₆ = {випадкове шість очок}.

Ці шість подій охоплюють і вичерпують усі можливі наслідки експерименту. Вони попарно несумісні, бо щоразу випадає тільки одна кількість очок. Усі шість подій однаково можливі, бо йдеться про однорідний кубик правильної форми, і спритність гравця виключається. У такому разі вважають, що для здійснення кожної події існує один шанс із шести.

Кожну з подій Е₁ — Е₆ для наведеного вище випробування називають елементарною, а всю їх множину — простором елементарних подій.

Елементарною подією називають кожен можливий наслідок імовірнісного експерименту. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних подій.

Якщо простір елементарних подій для деякого випробування складається з n рівноможливих несумісних подій, то ймовірність кожної з них дорівнює .

Наприклад, імовірність того, що на підкинутому гральному кубику випаде 5 очок, дорівнює . А ймовірність того, що підкинута монета впаде догори гербом, дорівнює . Ймовірність події А позначають Р(А). Якщо першу подію позначити буквою А, а другу — В, то Р(А) = , Р(В) = .

Існують події неелементарні.

Розглянемо загальний випадок. Нехай випробування має скінченну кількість (n) рівноможливих та несумісних наслідків і А — деяка випадкова подія, пов’язана з даним випробуванням.

Назвемо елементарну подію Е_n сприятливою для випадкової події А, якщо настання події Е_n внаслідок випробування приводить до настання події А.

Якщо кількість наслідків (елементарних подій), сприятливих події А, позначити через n(A), то ймовірність випадкової події А визначається формулою

Р(А) =

Ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості елементарних подій n(A), сприятливих для події А, до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних елементарних подій, які утворюють простір елементарних подій для певного випробування.

Таке означення ймовірності називають класичним.

Наведемо важливі властивості ймовірності випадкової події:

1. Якщо С — подія неможлива, то Р(С) = 0;

2. Якщо В — подія достовірна, то Р(В) = 1;

3. Якщо Х — подія випадкова, то 0 ≤ Р(Х) ≤ 1;

4. Якщо Е₁, Е₂, Е₃, …, Е_n — елементарні події, що вичерпують деяке випробування, то

Р(Е₁) + Р(Е₂) + Р(Е₃) + … + Р(Е_n) = 1.

Задача 1. Під час тестування пральної машини з’ясувалося, що одна з п’яти деталей a, b, c, d, e має дефект. Є можливість за один раз перевірити три деталі, які механік довільно обирає з визначених. Чому дорівнює ймовірність того, що:

а) буде перевірена деталь а (подія М);

б) будуть перевірені деталі а і b (подія N);

в) буде перевірена хоч одна з деталей а і b (подія К)?

Розв’язання: побудуємо простір елементарних подій для цього випробування (з 5 деталей обрано 3). Маємо:

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

а) події М сприяють 6 елементарних подій з 10: abc, abd, abe, acd, ace, ade. Можемо знайти ймовірність події М:

Р(М) = = = .

б) події N сприяють 3 елементарних подій з 10: abc, abd, abe, тому ймовірність події N дорівнює .

в) події К сприяють 9 елементарних подій з 10: усі, крім cde, тому ймовірність події К дорівнює .

Досі обчислювали ймовірності здійснення елементарних подій, не дуже замислюючись над поняттям «однаково можливі події». А це поняття не таке просте, як здається. Розглянемо приклад про ймовірність народження дитини певної статі. Народження хлопчика чи дівчинки — події, здається однаково можливі (як і падіння монети — гербом догори чи донизу). Але це суперечить істині. Багаторічні спостереження переконливо свідчать, що хлопчики народжуються частіше. На 1000 новонароджених у середньому припадає 517 хлопчиків і 483 дівчинки. Тому вважати, що ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5 — означає суперечити реальності. У таких випадках користуються поняттям статистичної ймовірності. Вважають, що статистична ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,517, а дівчинки — 0,483.

Уявіть: гральний кубик так, що його грань з 6 очками розміщена далі від центра мас, ніж протилежна грань. Такий кубик падає догори гранню з 6 очками частіше. Тут простежується цікава й дуже важлива закономірність. Якби хтось підкинув такий кубик 1000 разів і він упав, наприклад, 300 разів догори гранню з 6 очками, то й інші експериментатори мали б приблизно такі самі результати [42].

Багато масових випадкових подій мають властивість стійкості. За досить великої кількості незалежних випробувань частота появи спостережуваної події коливається близько одного й того самого числа. У справедливості цього багато спеціалістів переконалися експериментально. А математики

Я. Бернуллі, П. Чебишов та ін. обгрунтували це твердження і теоретично (закон великих чисел). Тому для таких (статистично стійких) подій раціонально ввести поняття ймовірності.

Якщо в n випробуваннях подія А відбудеться m разів, то дріб визначає частоту події А. У багатьох реальних випадках зі збільшенням n відносна частота події стабілізується й дедалі менше відрізняється від деякого числа р (коли n → , то → р). Це число р називають імовірністю події А.

Таким є статистичне означення ймовірності. Обсяг означуваного ним поняття набагато ширший від того, що відповідає класичному означенню. Класичну ймовірність обчислюють математичними методами, а статистичну — здебільшого визначають експериментально.

Якщо йдеться про ймовірність, то спеціалісти найчастіше мають на увазі статистичну ймовірність. Тому сучасна теорія ймовірностей тісно пов’язується з математичною статистикою. Об’єднання математичної статистики та теорії ймовірностей називають стохастикою. Стохастичний — означає випадковий, імовірний.

Одне з найважливіших понять стохастики — випадкова величина. Величину називають випадковою, якщо вона може набувати наперед невідомих числових значень, що залежать від випадкових подій. Наприклад:

1. виграш на лотерейний квиток;

2. відстань від точки влучання кулі до центра мішені.

Значення першої випадкової велечини — деякі цілі числа. Множина значень другої велечини — деякий неперервний відрізок числової прямої. Такі величини називають неперервними [5].

Задача 2. Випущено 100 лотерейних білетів, з яких 5 мають виграти по 10 грн., 10 — по 5 грн., 40 — по 1 грн., решта — безвиграшні. Який середній виграш припадає на один білет?

Розв’язати цю задачу можна арифметичним способом:

(5 ∙ 10 грн. + 10 ∙ 5 грн. + 40 ∙ 1 грн.) : 100 = 1,4 грн.

Проілюструємо на цій задачі поняття випадкової величини. Тут виграш — випадкова величина, яка може набувати значень 0, 1, 5, 10 (грн.) відповідно з імовірностями 0,45, 0,4 і 0,05. Це — дискретна випадкова величина . Описаній ситуації відповідає таблиця:

Таблиця 2.2.

	0	1	5	10
р	0,45	0,4	0,1	0,05

Зверніть увагу: сума ймовірностей, наявних у другому рядку таблиці дорівнює 1. Вважають, що таку випадкову величину розподілено за ймовірностями.

Якщо випадкова величина набуває значень х₁, х₂, …, х_n з імовірностями відповідно р₁, р₂, …, р_n, то це означає, що величину розподілено за таким законом:

Таблиця 2.3.

	х1	х2	…	хn
	р1	р2	…	рn

Середнє значення такої величини називають математичним сподіванням і позначають М( ):

М( ) = х₁ ∙ р₁ + х₂ ∙ р₂ + … + х_n ∙ р_n.

Наприклад, для попередньої задачі

М( ) = 0 ∙ 0,45 + 1 ∙ 0,4 + 5 ∙ 0,1 + 10 ∙ 0,05 = 1,4.

Міру розсіювань випадкової величини навколо її математичного сподівання називають дисперсією. Дисперсію випадкової величини х позначають D(x) і обчислюють за формулою D(x) = М(х – Мх)², де Мх — математичне сподівання величини х; (х – Мх)² — квадрати відхилень значень х від Мх. Величина (х – Мх)² також випадкова. Її математичне сподівання М(х – Мх)² — дисперсія випадкової величини х.

Щоб знайти дисперсію розглянутої вище випадкової величини , спочатку знайдемо відхилення всіх її значень від математичного сподівання:

0 – 1,4 = –1,4; 1 – 1,4 = –0,4; 5 – 1,4 = –3,6; 10 – 1,4 = –8,6.

Квадрати цих відхилень: 1,96; 0,16; 12,96; 73,96. Знайдемо математичне сподівання випадкової величини:

Таблиця 2.4.

(х – Мх)2	1,96	0,16	12,96	73,96
р	0,45	0,4	0,1	0,05

1,96 ∙ 0,45 + 0,16 ∙ 0,4 + 12,96 ∙ 0,1 + 73,96 ∙ 0,05 = 5,94.

Це і є дисперсія розглядуваної випадкової величини: D( ) = 5,94.