Количество размещений[править]

Количество размещений из n по k, обозначаемое  , равно убывающему факториалу:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторойперестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту  , в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:^[1][2][3]

Размещение с повторениями[править]

Размещение с повторениями или выборка с возвращением^[4] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

Количество размещений с повторениями[править]

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое  , равно:^[5][1][4]

Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

Ещё 1 пример: размещений с повторениями из 4 элементов a, b, c, d по 2 равно   эти размещения следующие:

Свойства перестановки

• Число всех перестановок порядка   равно числу размещений из n по n, то есть факториалу:^[1][2][3][4]

• Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка:   Относительно этой операции множество перестановок порядка nобразует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают  .

• Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы (теорема Кэли). При этом каждый элемент   сопоставляется с перестановкой  , задаваемой тождеством   где g — произвольный элемент группы G, а   — групповая операция.

  Теорема сложения вероятностей несовместных событий 

     Теорема сложения вероятностей совместных событий 

     Теорема умножения вероятностей независимых событий 

     Теорема умножения вероятностей зависимых событий 

где   - вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины  обозначается M .

Математическое ожидание дискретной случайной величины  , имеющей распределение

 

x1	x2	...	xn
p1	p2	...	pn

называется величина  , если число значений случайной величины конечно.

Определение Дисперсия

Пусть   — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ   обозначает математическое ожидание^[1][2].

Основные сведения Среднее кв Отклонение

Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):

где   — дисперсия;   — i-й элемент выборки;   — объём выборки;   — среднее арифметическое выборки:

Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной.