29.Выпуклость и точки перегиба. Необх и достатусл-я перегиба ф-ии.

Ф-я наз-сявыпуклой вниз на промеж-ке Х, если для любых двух знач-й , из этого промеж-ка выполн-ся: f( )≤ .

Ф-я наз-сявыпуклой вверхна промеж-ке Х, если для любых двух знач-й , из этого промеж-ка выполн-ся: f( )≥ .

Теорема: Ф-я выпукла вниз (вверх) на промеж-ке Х только тогда, когда ее первая произв-ая на этом промеж-ке монотонно возр-ет (убыв-ет).

Теорема: Если 2-я произв-ая дважды дифф-емой ф-ииположительна (отрицательна) внутри некоторого промеж-ка Х, то ф-я выпукла вниз (вверх) на этом промеж-ке.

Точка перегиба – точка, разделяющая интервалы, в кот ф-я выпукла вниз и вверх.

Необхусл-е перегиба: Вторая произв-ая ф-ии в т перегиба равна нулю.

Достатусл-е перегиба: Если вторая произв-ая ф-ии при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то и есть т перегиба ее графика.

30.Нахожд-е асимптот ф-ии.

Асимптота – прямая, обладающая таким св-вом, что расст-е от точки х (f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Верт, гориз, накл.

Теорема 1: Пусть ф-я y=f(x) определена в некотокрестн-ти точки , исключая, возможно, саму эту точку, и хотя бы один из пределов ф-ии Limf(x) равен беск-ти. Тогда прямая х= явл-ся вертик асс-той.

Теорема 2: Пусть ф-я определена при достаточно больших Х, и сущ-ет конечный предел ф-ииLim (при x->∞) f(x)=b. Тогда прямая y=b есть гориз асс-та. Если этот предел равен беск-ти, ф-я может иметь накл ас-ту.

Теорема 3: Пусть ф-я определена при достаточно больших Х, и сущ-ют ее конечные пределы Lim (при x->∞) =k и Lim (при x->∞) [f(x)-kx] =b. Тогда прямая y=kx+bявл-сянакл асс-той.

32-33.Первообразная ф-ии и неопред интеграл.Свойства неопределенного интеграла

Ф-яF(x) наз-сяпервообр для ф-ииf(x), на промежутке Х, если в каждой точке х этого промеж-ка F’(x)=f(x).

Пример: F(x)= первообразна для f(x)= , т.к. F’(x)=f(x).

Теорема: Если (x) и (х) – первообразные для ф-ии f(x) на некот промеж-ке Х, то найдется такое число С, что (х) = (х)+С. Значит, если F(x) – первообр для f(x), то выраж-е вида F(x)+C (С – произвольн число) задает все возможные первообр-ые для f(x).

Неопр интеграл – Совок-т всех первообр-х для ф-ииf(x) на промеж-ке Х наз-сянеорп интегралом от ф-ииf(x) и обозн-ся .

Например: поскольку - первообр для ф-ии f(x)= , то = +С.

Основные свойства неопределённого интеграла

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке  X, и  k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции  f ( x )  и  g ( x ) имеют первообразные на промежутке  X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если  функция  f ( x )  непрерывна на промежутке  X  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.