34.Понятие определенного интеграла. Св-ва.И геометрическая интепритация пределенного интеграла

Интегр сумма.

В каждом частичном промежутке [x_i, x_i+1] выберем по точке ξ_i и вычислим f(ξ_i). Умножим f(ξ_i) на длину (x_i+1 – x_i) соответствующего промежутка [x_i, x_i+1]. Сложим все найденные произведения.

Получилась интегр сумма (ξ_i)∆ x_i .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении макс приращ-я х к нулю сущ-ет, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2, хn и точек Е1, Е2, Еn. Тогда этот предел наз-сяопределенным интегралом от ф-ииy=f(x) на отрезке [a;b], обозн-ся (x)dx (a-нижн предел, b-верхн), а сама ф-я y=f(x) наз-ся интегрируемой на отрезке [a;b]. Неопред-й интеграл есть некое семейство ф-ий, а опред-й – есть опред число.

Геом смысл: Если ф-я неотрицательна на [a;b], то опринтегр численно равен площади под кривой на этом [a;b].

Св-ва:

1-Пост множ-ль можно выносить за знак интеграла.

2-Интеграл от алг суммы 2-х ф-ийравен сумме интегралов от этих ф-ий.

3-Если отрезок интегр-я разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из частей.

4-Если на отрезке [a;b] f(x)≤g(x), то и (x)dx ≤ (x)dx, обе части можно почленно интегрировать.

5-Теорема о среднем. Если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то найдется такое значение ξ (принадл [a;b]), что (x)dx =f(ξ)(b-a).

Геом смысл: Найдется такая точка ξ, что площадь под кривой y=f(x) на отрезке [a;b] равна площади прямоугольника со сторонами f(ξ) и (b-a).

35.Опр интеграл как ф-я верхнего предела.

Геом смысл: Если ф-я y=f(x) интегр-ма на отрезке [a;b], то она также интегр-ма на отр-ке [a;х], вложенном в [a;b].

Пусть по опр-ю Ф(х)= (x)dx = (t)dt, где х принадл[a;b], а ф-я Ф(х) наз-сяинтегралом с переменнверхн пределом. Пусть f(t)≥0 на отр-ке [a;b], тогда знач-е ф-ииФ(х) в точке х равно площади под кривой y=f(t) на отр-ке [a;х].

Теор. 1: Если ф-я f(x) непрерывна на отр-ке [a;b], то ф-я Ф(х) тоже непр на этом отр-ке.

Теор. 2: Пусть ф-я f(x) непр-на на отр-ке [a;b]. Тогда в кажд точке х отр-ка [a;b] произв-ая ф-ииФ(х) по перемен верхн пределу равна подынтегральной ф-ииf(x): Ф’(х)= (t)dt =f(x).

Следствие: Если ф-я y=f(x) непр-на на отр-ке[a;b], то для этой ф-иисущ-етпервообр-ная на этом отр-ке.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть ф-я y=f(x) непрерывна(иначе формулу нельзя применять) на отр-ке [a;b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a;b]. Тогда опред интеграл от ф-ииf(x) на [a;b] равен приращ-ю первообр-й F(x) на этом отр-ке: (x)dx =F(b)-F(a).

Пример: . Произвольнпервообр-ая для ф-ииf(x)= есть F(x)= +C. Возьмем такую первообр-ую, у кот С=0. Тогда = = – = .

50. Классическое, статистическое (частное), геометрическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности

Событие – это факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятность - это одно из основных понятий теории вероятности.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р (А).

Достоверным называется событие В, которое в результате опыта непременно должно произойти:

Р (В) = 1

Невозможным называется событие С, которое в результате опыта не может произойти:

Р (С) = 0

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0 ≤ Р(А) ≤ 1

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.