14 Вопрос Основные свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если функции и являются непрерывными в точке , то в этой точке будут непрерывными и функции , . Теорема 2. Если и являются непрерывными в точке и , то в точке есть непрерывной также и функция . Обратите внимание: все дробово-рациональные функции и основные тригонометрические функции являются непрерывными на любом промежутке, в каждой точке которого они определены. График непрерывной функции на таком промежутке является беспрерывной линией Теорема 3. Пусть функция непрерывная на промежутке и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда она оборачивается в нуль хотя бы в одной точке этого промежутка. Если функция есть монотонной на , то она превращается в 0 только одинраз. Следствия 1) Если функция непрерывная на промежутке , то она получает на этом промежутке любое значение M, какое расположенное между и . 2) Если функция непрерывная на промежутке и не превращается в нуль внутри этого проміжка, то она имеет один и тот самый знак во всех внутренних точкахпроміжку. Эти Свойства дают возможность обосновать метод интервалов, который широко применяется для решения неровностей

15 Вопрос

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.

Геометрический и физический смысл производной Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную(постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом илитангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции [править]

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скоростьдвижения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени