36. Вычисление площадей фигур в прямоугольных координатах.

Пусть две функции y = f(x) и y = φ(x) непрерывны на отрезке [a,b] , причем f(x) ≥ φ(x) для всех    (рис. 14). Площадь S фигуры, ограниченной линиями y = f(x) , y = φ(x) и прямыми x = a, x = b , находится по формуле:

37. Вычисление объемов тел вращения вокруг Оx, Оy, поверхностей тел вращения в прямоугольных координатах.

Объем тела вращения

Криволинейная трапеция D,

вращается вокруг оси ОХ

Криволинейная трапеция D,

x = 0 вращается вокруг оси OY

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf ² (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Теорема 7.3. 

Объем тела вращения равен

Теорема 7.4. 

Объем шара равен где R – радиус шара.

38. Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах.

Пусть кривая задается функцией y =f(x), дифференцируемой на отрезке [a,b] . Длина L дуги кривой от точки A(a, f(a)) до точки B(b, f(b)) задается формулой:

39. Понятие числового ряда. Примеры числовых рядов (гармонический ряд, геометрическая прогрессия и др.). Необходимый признак сходимости числового ряда.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: .

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом.

Сумма вида , где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Геометри́ческаяпрогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , :

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n=0, что и требовалось доказать.Следствие. Если u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

40) Достаточные признаки сходимости: 1.признак сравнения, 2. Признак Даламбера, 3. Интегральный признак.

41)

42)

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Определение

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

В случае, если  , этот ряд иногда называется рядом Маклорена..

43)

44)

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа  выполнено следующее равенство:

,

где   — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

45 вопрос (исправлен).

59)