20. Биматричные игры. Основные понятия.

Вначале мы изучали игры с природой, а затем антагонистические игры. В антагонистических играх участники преследуют прямо противоположные интересы. В таких играх платежная матрица описывает выигрыш одного игрока, в тоже время проигрыш второго игрока. В реальности встречаются конфликты более общего характера. В них участники преследуют различные, но не обязательно противоположные интересы. И поскольку интересы не обязательно противоположны, то их поведение является более разнообразным. Такие игры в свою очередь разделяют на 2 вида: - бескоалиционные (некооперативные), - кооперативные

В бескоалиционных играх исключается сотрудничество между игроками, игроки принимают решения независимо друг от друга. А в кооперативных играх до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимо-обязывающие соглашения о своих стратегиях. Некооперативные игры далее будем называть (Биматричными) Биматричная игра – подобна антагонистической игре и задается платежной матрицей, но теперь каждому игроку принадлежит своя матрица. Пусть игрок А имеет m стратегий [А1..А2…Аm], тогда игрок В имеет n стратегий [В1..В2..Вn]. Если игрок В применяет стратегию i, тогда игрок А применяет стратегию j , то в результате первый игрок получит выигрыш Аij а второй игрок получит выигрыш Вij. Общий вид платежных матриц игроков:

Платежная матрица игрока А

	В1	В2	…	Вn
A1	A11	A12	…	A1n
A2	A21	A22	…	A2n
…	…	…	…	…
Am	Am1	Am2	…	Amn

Платежная матрица игрока В

	В1	В2	…	Вn
A1	B11	B12	…	B1n
A2	B21	B22	…	B2n
…	…	…	…	…
Am	Bm1	Bm2	…	Bmn

Постановка задачи

Как и в антагонистических играх, требуется найти смешанные стратегии, которые являются оптимальными, т.е. необходимо найти вероятность:

Р1- частота принятия стратегии А1

Р2- частота принятия стратегии А2

Р3- частота принятия стратегии А3 Все эти величины положительны и их сумма = 1.

Аналогично и для игрока В:

q1- частота принятия стратегии B1

q2- частота принятия стратегии B2

q3- частота принятия стратегии B3 Все эти величины также положительны и их сумма = 1.

Формулы вычисления средних выигрышей Что бы найти среднее и максимальное значение, нужно каждое значение величины умножить на вероятность и результат сложить. Аij – соответствует вероятность Рi x qi

Отсюда: Ha (P,Q) = НB (P,Q) =

21. Примеры биматричных игр в экономике.

22. Равновесная ситуация. Теорема Нэша. Система неравенств, определяющая равновесную ситуацию.

Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну точку равновесия, без доказательства. еорема 2. Выполнение неравенства (1) равносильно выполнению неравенств:

Неравенство 2. На(0,q) ≤ Ha (p*q*)

Ha(1,q) ≤ Ha (p*q*)

Неравенство 3.

НB(p*,0) ≤ HB (p*q*)

HB(p*,1) ≤ HB (p*q*)

Неравенство 2 означает, что неравенство 1.1 достаточно проверить для двух крайних значений ( когда р=0 и р=1).

Точнее говоря для чистых стратегий. Аналогично неравенство 3, это проверка неравенства 1.2 для чистых стратегий. Для нахождения точки равновесия будем решать неравенство (2 и 3) для этого воспользуемся формулой (*) Согласно этому представлению:

Ha(p*,q*) = Ср*q*-2p*+ Ɣq* + a22 (4)

Ha(0,q*) = Ɣq* + a22 (5)

Ha(1,q*) = Cq*- α + Ɣq* + a22 (6)

Первое неравенство (2) имеет вид:

Ha(p*,q*) - На(0,q*)≥0

или с учетом (4) и (5)

р*(Сq*- α) ≥0 (7)

Второе неравенство (2) имеет вид:

Ha(p*,q*) - На(1,q*)≥0 или с учетом (4) и (5) Ср*q* - αp* - (Cq*- α) ≥0 = Cq*-(p*-1) – α(p*-1) ≥0 (8)

Неравенство (8):

(р*-1)(Сq*- α) ≥0

p*(Cq*- α) ≥0 (9)

Аналогично решим неравенство (3)

Нв(p*q*) = Dp*q*- βq*+ Δ p + βq + B22 (10)

HB(p*q*) = Δ p+ B22 (11)

HB=(p*,1) = Dp*- β+ Δ p* + βq + B22 (12)

Первое неравенство (3)

Нв(р*,0) ≤ Нв(р*,q*)

Dp*q*- βq*≥0

q*(Dp*- β)≥0

Второе неравенство (3)

HB(p*q*) – HB (p*,1) ≥0

Учитывая (10) и (12)

Dp*q* - βp*-(Dp*-β) = p* x D(q*-1)- β(q*-1) ≥0

(q*-1)(Dp*- β) ≥0

q*(Dp*- β) ≥0