31. Представление функции интегралом Фурье.

Как известно, всякую (периодич или непериодич) функцию f(x), удовлетвор на отрезке [-l,l] условиям теоремы Дирехле, можно разложить в ряд фурье. Рассмотрим случай, когда f(x) – непериодич функц, заданная на бесконечн промежутке (-∞,∞) (т.е. l=+∞). f(x)=1/pi* ʃ^∞₀dw ʃ ^∞_-∞f(t)cosw(t-x)dt (1); формула (1) наз формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы – интегралом фурье для функц f(x). Формула фурье имеет место в точках непрерывн функции f(x); в точках разрыва данн функции интеграл фурье равен средн арифм ее одностор пределов: 1/pi* ʃ^∞₀dw ʃ ^∞_-∞f(t)cosw(t-x)dt=(f(x-0)+f(x+0))/2; формулу (1) можно переписать в другом виде: f(x)= ʃ^∞₀(A(w)coswx+B(w)sinwx)dw, где A(w)= 1/pi ʃ ^∞_-∞f(t)coswtdt, B(w)= 1/piʃ ^∞_-∞f(t)sinwtdt

Замечания:

1. если функц четная, то формула f(x)=ʃ^∞₀(A(w)coswx)dw, A(w)=2/piʃ ^∞₀f(t)coswtdt

2. нечетная f(x)= ʃ^∞₀(B(w)sinwx)dw, , B(w)= 2/piʃ ^∞₀f(t)sinwtdt

32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которого определено знач-е некотор величины. Если каждой точке М этой области соответсв определенное число U=U(M),говорят, что в области задано скалярное поле. Если же кажд точке М обл про-ва соотв некотор вектор а*=а*(М) , то говорят, что задано векторное поле. Примерами сколярн поля могут быть поля температуры(воздуха), атмосферн давления, плотности. Примерами векторн полей: поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости, магнитн поле. Если функц U(M)( а*(М)) не зависит от времени, то скалярное(векторное) поле называют стационарным, поле, котор меняется с теч времени – не стационарное. Если обл V – обл трехмерн про-ва, то скалярн поле U можно рассматр, как функцию трех переменных x,y,z, U=U(x,y,z); если скалярн поле завис от 2-х переменных, то такое скалярн поле называют плоским: U=U(x,y); Аралогично вектор а*=а*(М), определяющ векторн поле можно представить как векторн функц трех скалярных аргументов x,y,z. Вектор а*=а*(М) можно представить в виде а*=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, где P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) – проекции вектора а(М) на оси координат.

33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.

Для характеристики скорости изменения поля U=U(M) в задан направл введем понятие «производной по направлению». Возьмем в прос-ве где заданно поле U=U(x,y,z), некотор точку М и найдем скорость измен U при движ точки М в произвольн направлении λ. Пусть вектор λ имеет нач в точке М и направляющ косинусы cosα, cosβ, cosץ. Приращ функц U возникающ при переходе от М к некотор точке М₁ в направл вектора λ определяется как ΔU=U(x+Δx;y+Δy;z+Δz) – U(x,y,z); тогда Δ λ = |MM₁|= ((Δx)²+( Δy)²+( Δz)²)^1/2; производной от функц U=U(M) в точке М по направл λ называется предел dU/dλ=lim_Δλ→0 (ΔU/Δ λ)= lim_M1→M((U(M₁)-U(M))/|MM₁|). Переходя к пределу при Δλ→0, получим формулу для вычисления производной по направлению: dU/dλ= (dU/dx)* cosα+(dU/dy)* cosβ+(dU/dz)* cosץ.

Градиент скалярного поля: В каком направлении λ производная dU/dλ имеет наибольшее направление, это направление указ вектор, называемый градиентом скалярного поля. Вектор, корд которого явл знач-я частных производных функции U(x,y,z) в точке М (x,y,z), называют градиентом функции и обознач gradU=(dU/dx)i+(dU/dy)j+(dU/dz)k. Если градиент указ направл наибыстрейш возраст функции (cosф=0), то он равен |gradU| =((dU/dx)²+(dU/dy)²+(dU/dz)²)^1/2

Сво-ва градиента:

1. Градиент направл по нормали к пов-сти уровня.

2. Grad(U+V)=gradU+gradV

3. Grad(c*U)=c*gradU

4. Grad(U*V)=UgradV+VgradU

5. Grad(U/V)=(VgradU-UgradV)/V²

6. GradF(U)=(df/dU)*gradU