2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства

Рассмотрим прямую, на которой заданы направление, начало отсчета и единица масштаба. Такую прямую назовем осью. Направление оси зададим вектором , сонаправленным с осью. Единичный вектор вектора называется ортом оси.

Углом между векторами и называется наименьший угол , на который нужно повернуть вектор , чтобы он совпал по на­правлению с вектором .

Углом между вектором и осью называется угол между вектором и ортом оси .

Углом между двумя осями называется угол  между их ортами. Очевидно, что .

Ортогональной проекцией точки А на ось L называется основание А₁ перпендикуляра, опущенного из точки А на ось L .

Проекцией вектора = на ось L называется длина отрезка А₁В₁, заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора на эту ось, если направление от А₁ к В₁ совпадает с направлением оси L, и длина, взятая со знаком минус, если эти направления не совпадают. Проекция вектора на ось L обозна­чается символом пр_L .

Нетрудно показать, что проекция вектора на ось L равна длине вектора, умноженной на косинус угла  между осью и вектором:

прL =| | cos.

(2.1)

Проекции векторов и на данную ось L обладают следующими свойствами:

1) пр_L ( + )= пр_L + пр_L ;

2) пр_L ( )=  пр_L .

2.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Выделим на координатных осях Ох, Оy и Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Проведем через ко­нец вектора плоскости, парал­лельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно че­рез , , . Получим прямо­угольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .

Тогда, используя определение суммы векторов, последовательно получаем.

, , и, следовательно

.

(2.2)

Учитывая, что вектор равен произведению его модуля на орт, получаем

, , .

(2.3)

Обозначим

, ,

тогда из равенств (2.2) и (2.3) следует, что

(2.4)

Представление вектора в виде (2.4) называется разложением вектора по базису , , .

(2.5)

, ,

(2.6)

, ,

(2.7)

Координаты вектора в базисе , , обозначим x, у, z. Таким образом, координаты точки М (x, у, z) – это также и координаты , поэто­му = х + y + z .

Направленные прямые, проходящие через точку О и сонаправленные с базисными векторами , , называются осями координат соответ­ственно Ох, Оy и Оz. Координаты векто­ра ( x, у, z ) – это проекции вектора на оси Ох, Оy и Оz.

Рассмотрим две точки А(x₁ , y₁, z₁ ) и В (x₂, y₂, z₂), радиус-век­торы которых и . Так как = (x₂– x₁, y₂– y₁, z₂– z₁), то приходим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответству­ющие координаты его начала.

Пример 2.1

Найти вектор , если А(5;8;–1), В(1;3;2).

Решение

=(1–5; 3–8; 2–(–1))  = (– 4; –5; 3) или = .

Для случая плоскости декартова система координат определя­ется началом координат О и двумя базисными векторами , .

Соответственно применяются записи для точки плоско­сти М (х, у) и вектора в плоскости (x, у).

Пример 2.2

Найти орт вектора .

Решение

Из решения получаем .

Векторы и коллинеарны (параллельны). Из равенства векторов и следует равенство соответствующих координат b_x=a_x, b_y=a_y, b_z=a_z. Из этих трех равенств получается условие коллинеарности векторов и :

(2.8)