3.2. Исследование уравнения плоскости

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости (3.3).

1. D = 0. В этом случае уравнение (3.3) преобразуется в уравнение , которое описывает плоскость, проходящую через начало координат.

2. С = 0. Уравнение Ax + By + D = 0 описывает плоскость параллельную оси Oz.

3. С = D = 0. Плоскость Ax + By = 0 содержит в себе ось Oz.

4. A = B = 0. Уравнение плоскости в этом случае Сz+D = 0. Перепишем это уравнение в виде z = описывает плоскость параллельную координатной плоскости XOY.

5. A=B=D=0. Тогда из уравнения (3.3) следует, что Сz =0 или z=0 – сама плоскость XOY.

3.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть М₁(x₁, y₁ ,z₁), М₂(x₂, y₂ ,z₂), М₃(x₃, y₃ ,z₃) - три заданные точки и М(x, y ,z) – произвольная точка плоскости.

Тогда векторы , , лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов,

= 0.

(3.4)

Это – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Если плоскость пересекает оси координат в точках М₁(а, 0 , 0), М₂(0, b, 0), М₃(0, 0 , c), то уравнение (3.4) примет вид

= 0   =

= .

Деля последнее уравнение на , получим уравнение

.

(3.5)

В этом уравнении a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат , , , соответственно, поэтому оно называется уравнением плоскости в отрезках.

Пример 3.2

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: М₁(2, –1 , 3), М₂(–1, 1 , 4), М₃(–2, 5 , 2).

Решение

Подставив координаты точек в уравнение (3.4), получим

= 0  = 0,

Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим

– + = 0, 

 ,  +16–7+30= = 0,  – 39 = 0.

3.4. Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим задачу о вычислении угла между двумя плоскостями и .

Угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами ₁(A₁, B₁, C₁) и ₂(A₂, B₂, C₂) этих плоскостей. Поэтому

.

(3.6)

Если плоскости ортогональны, то ортогональны (взаимно перпендикулярны) и их нормальные векторы. В этом случае , , тогда из формулы (3.6) следует условие ортогональности плоскостей

.

(3.7)

Если плоскости параллельны, то параллельны и их нормальные векторы. Координаты параллельных векторов пропорциональны:

.

(3.8)

Уравнения (3.8) представляют собой условия параллельности плоскостей.

3.4. Общие уравнения прямой

Прямую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и , т.е. как множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.