Раздел I. Линии второго порядка Введение

Линия второго порядка - это плоская линия, которая в некоторой аффинной или прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением 2-й степени вида:

a₁₁ x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁₀ x + 2a₂₀ y + a₀₀ = 0. (*)

Коэффициенты этого уравнения - любые действительные числа, причем, a₁₁, a₁₂, a₂₂ не равны нулю одновременно.

Уравнение (*) назовем общим уравнением линии второго порядка.

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности рассуждений в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую линию второго порядка.

Сначала будем рассматривать линии второго порядка на евклидовой плоскости, в которой можно использовать метрические понятия: понятие длины отрезка, величины угла и опирающиеся на них другие понятия. Поэтому для изучения свойств линий второго порядка будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат.

В зависимости от коэффициентов уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью поворота системы координат на некоторый угол вокруг начала координат и параллельного переноса к более простому виду. Позже покажем, что на евклидовой плоскости существует 9 классов линий второго порядка, среди которых есть классы эллипсов, гипербол, парабол. С них и начнем изложение.

Кратко отметим роль эллипса, гиперболы, параболы в жизни, быту, природе, технике.

Любое тело формы прямого цилиндра или конуса, разрезанное наискось так, чтобы при этом не затрагивалось основание, в разрезе дает эллипс.

Рис.1. Сечение прямого цилиндра. Рис.2. Сечение конуса.

Еще Кеплер (1571 – 1630) обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца не по кругам, а по эллипсам, причем, Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Кометы движутся по параболам. По параболе движется тело, брошенное под углом к горизонту. Свойство параболы отражать лучи параллельно ее оси используется в фарах, прожекторах, оптике. Параболические зеркала используются в солнечных печах, телескопах, радиолокаторах, лазерах и т.д.

Многие процессы в природе протекают по закону обратной пропорциональности. Например, “золотое” правило механики: во сколько раз выигрываешь в силе, во столько раз проигрываешь в расстоянии. Графики, выражающие такие функциональные зависимости, представляют собой гиперболы.

Эллипс, гипербола и парабола были известны еще в глубокой древности. Они назывались коническими сечениями, так как все эти линии можно получить, пересекая круговой конус различными плоскостями, не проходящими через вершину конуса. Древнегреческий математик и философ Аполлоний (2 век до н. э.) разработал теорию конических сечений. Но применение конических сечений в древности было незначительным.

Потребности практики, механики, производства, мореплавания возродили интерес к коническим сечениям и другим сложным кривым. Появление метода координат в 17 веке позволило снабдить эти кривые уравнениями, что привело к их включению в технические расчеты.